Praticamente tutti gli strumenti per lo studio del movimento del suolo si basano su un oscillatore meccanico formato da massa + molla + smorzatore. Una estremità della molla è vincolata al terreno, l’altra è fissata alla massa, ed, in parallelo alla molla, troviamo lo smorzatore. Quello che abbiamo appena descritto costituisce un sistema del secondo ordine, esprimibile con l’equazione (sistema oscillante forzato) [30]:
L’equazione (1) rappresenta un sistema oscillante forzato. In assenza di sollecitazioni dall’esterno (x=0) e in assenza di smorzamento (z = 0) la (1) rappresenta un sistema oscillante di pulsazione wn. La variabile y è un angolo, ma a meno di fattori di scala dimensionali può essere la posizione del punto luminoso sulla CCD, oppure il numero di count del sistema digitale.
Se trasformiamo questa equazione secondo Laplace otteniamo:Avendo definito F(s):
La risposta in frequenza del sistema (diagramma di Bode), si calcola effettuando il modulo della F(jw) (la sostituzione della variabile complessa s con la variabile immaginaria jw è lecita assumendo che il termine transitorio descritto dalla parte reale di s scompaia in un'eccitazione sinusoidale a regime). I diagrammi che seguono descrivono il comportamento di un sismografo reale, il sismografo Wood-Anderson, sul quale, nel 1935 Richter definì la scala delle magnitudo usata ancora adesso.
Fig 4.1 - Diagramma di Bode della risposta dell’oscillatore eccitato con un segnale di accelerazione.
La scala verticale è in counts. Per semplicità è stato posto a=1 count × s2/cm.
Dividendo entrambi i termini della (5) per s otteniamo:Poiché X(s)/s rappresenta l'integrale dell'accelerazione del sistema, la funzione di trasferimento che abbia in uscita la posizione ed in ingresso la velocità diviene s×F(s):
Fig 4.2 - Diagramma di Bode della risposta dell’oscillatore eccitato con un segnale di velocità.
La stessa considerazione effettuata per la velocità può essere effettuata per lo spostamento (indicato con D(s)). In questo caso:
Fig 4.3 - Diagramma di Bode della risposta dell’oscillatore eccitato con un segnale di posizione.
I diagrammi ottenuti possono essere giustificati anche a livello intuitivo. Per quanto riguarda l'accelerazione a tempi lunghi (origine del grafico) essa si traduce in una forza (nel nostro caso una torsione), mentre a tempi brevi (w>wd) il sistema si comporta come un filtro passa-basso e la risposta decresce. Esattamente il contrario succede per lo spostamento. A tempi bevi (parte a destra del grafico) il baricentro dell'elemento sensibile tende a rimanere fermo, mentre il telaio intorno ad esso si muove, quindi il sistema misura effettivamente lo spostamento. Per tempi lunghi (w<wd) la forza di richiamo “fa in tempo” ad agire sullo specchio e la risposta del sistema decresce.
Gli strumenti che è possibile costruire a partire dall’oscillatore armonico sono praticamente limitati soltanto dalla fantasia del progettista. Il citato sismografo Wood-Anderson è un piccolo pendolo orizzontale con sospensione a filo.
I rivelatori di inclinazione più sensibili al mondo (Verbaandert-Melchior) sono ottenuti con pendoli orizzontali di quarzo sospesi con fili di quarzo a loro volta vincolati ad un telaio di quarzo. Il più grande pendolo orizzontale del mondo (Marussi), nato per lo studio delle maree terrestri, posto nella grotta gigante di Trieste, è caratterizzato da una sospensione lunga 100 m e da un periodo proprio di 6 minuti.
Benché di vecchia concezione questi strumenti sono ancora attuali: i sismologi producono sismogrammi Wood-Anderson sintetici invertendo la risposta di sofisticati sismografi a bilanciamento di forze per calcolare la magnitudo secondo la definizione originale. I tiltmetri Verbaandert-Melchior sono tutt’oggi utilizzati, mentre i pendoli Marussi sono l’unico oscillatore al mondo con un periodo proprio così lungo.
Tutti questi strumenti utilizzano una sistema a leva ottica per la rivelazione della posizione e quindi sono utilizzabili con il sensore oggetto di questa tesi.
I vantaggi del rivelatore di posizione sono evidenti: l’uscita digitale permette di avere una registrazione immediatamente utilizzabile.
Per quello che riguarda l’uso con i tiltmetri, dove la stabilità a lungo termine (dell’ordine di 10-14 rad × s-1) è un parametro stringente quanto la precisione, basta considerare che la risposta del dispositivo è esclusivamente vincolata alla geometria del sensore che viene immediatamente digitalizzato, e quindi non legata a derive di componenti. Un montaggio meccanico di qualità in un luogo termicamente stabile saranno sufficienti per una buona installazione.
Per quanto riguarda la risposta in frequenza, l’unico problema potrebbe essere quello dell’aliasing: non è possibile mettere un filtro anti-aliasing su un fascio di luce.
In questo caso ci viene in aiuto la velocità di risposta del dispositivo: l’attenuazione meccanica di un sismografo allontanandosi dalla risonanza è dell’ordine di 40 db/decade. Un sismografo a breve periodo (il più critico, nel nostro caso) ha una risonanza a circa 1 secondo. Ad 1 kHz attenua di 80 dB. La risoluzione del nostro sistema è di tale ordine, quindi il sistema acquisendo a 2 kHz (la massima velocità della nostra elettronica) non risulterà affetto da aliasing. Nel DSP del rivelatore è possibile implementare con facilità un passa-basso digitale ed avere, dopo una decimazione, il segnale sismico al ritmo di campionamento desiderato (usualmente 50 campioni/sec).
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