Appunti di calcolo matriciale.
Matrice.
La matrice è una tabella di numeri (elementi) raggruppati nella forma seguente:
La matrice nell’esempio è costituita da 3 righe e 4 colonne ed è detta rettangolare di ordine 3 x 4.
Se il numero di righe è uguale a quello delle colonne, la matrice è definita quadrata.
Vettore Colonna.
Una matrice composta da una sola colonna è definita vettore colonna.
Vettore Riga.
Una matrice composta da una sola riga è definita vettore riga.
Matrice Identità.
La matrice Identità è una matrice quadrata composta da elementi nulli ad eccezione di quelli posizionati sulla diagonale che hanno un valore unitario.
Prodotto di due matrici.
Il prodotto di due matrici è una matrice i cui elementi sono dati dalla sommatoria dei prodotti di ogni riga della prima matrice per ogni colonna della seconda, secondo il seguente schema:
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Per poter eseguire il prodotto di due matrici esse devono essere conformi. In altri termini, il numero di colonne della prima matrice deve risultare uguale al numero di righe della seconda. |
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Il prodotto di matrici non gode della
proprietà commutativa. Riprendendo l’esempio precedente, si ha:
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Il prodotto di una matrice rettangolare
per un vettore colonna è un vettore colonna.
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Matrice inversa.
Assegnata una matrice di partenza, la sua matrice inversa moltiplicata per la matrice di partenza produce la matrice identità. Ad esempio, l’inversa della matrice
è
Si ha, infatti,
Il calcolo della matrice inversa è piuttosto complesso. Il foglio elettronico Excel possiede la funzione =MATR.INVERSA(matrice).
Determinante di una matrice quadrata.
Il determinante di una matrice quadrata è un’espressione ottenuta dalla sommatoria dei relativi prodotti competenti.
Per un determinante del secondo ordine è applicabile la regola del prodotto in croce
Per determinanti di ordine superiore si può ricorrere ai complementi algebrici di ogni singolo elemento.
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Per ogni elemento del determinante di partenza, il complemento algebrico è quel determinante, di ordine immediatamente inferiore, che si ottiene eliminando la riga e la colonna dell’elemento considerato. |
Il calcolo di un determinante di ordine superiore al terzo risulta piuttosto complesso. Il foglio elettronico Excel è dotato della funzione =MATR.DETERM(matrice) per il calcolo immediato dei determinanti.
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Se una riga del determinante è una
combinazione lineare di altre righe, il valore del determinante è nullo.
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Se una matrice quadrata presenta un determinante nullo, non esiste la sua matrice inversa. |
Sistemi di equazioni lineari.
Il sistema di equazioni lineari
può essere scritto nella forma
Moltiplicando entrambi i membri per la matrice inversa della matrice dei coefficienti si ha
Essendo
si ha
ovvero
Le soluzioni del sistema sono quindi
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© 2002 Carlo PALATELLA
(La seconda riga è
ottenuta moltiplicando per 2 ogni elemento della prima.)
(La terza riga è ottenuta sommando gli
elementi delle due righe precedenti.)
(La terza riga è ottenuta sommando gli
elementi delle seconda a quelli della prima moltiplicati per 2.)