Analisi
plastica. Trave Incastro-Incastro.
Carico uniformemente distribuito.
Problema. Dopo aver determinato la posizione della cerniera
plastica di campata per la trave in figura calcolare il valore del carico limite
ql utilizzando rispettivamente il metodo statico e quello cinematico.
Reazioni e diagramma dei momenti
Le reazioni
elastiche M offerte dai due incastri valgono
Esse hanno un
valore negativo nel diagramma dei momenti.
Per 
è 
nella quale 
è il momento in mezzeria della trave semplicemente
appoggiata.
Formazione delle cerniere
plastiche
Al
crescere del carico q i momenti MA e MB aumentano fino a
raggiungere il valore del momento plastico Mp. Gli incastri in A e
in B si trasformano in cerniere plastiche in corrispondenza della quale è
applicato il momento Mp.
Aumentando
ancora il carico q fino al valore del carico limite ql, il momento MC
cresce fino a raggiungere anch’esso un valore pari a Mp. L’incastro
interno in C si trasforma in una cerniera plastica in corrispondenza della
quale è applicato ancora il momento Mp. La struttura assume la forma
di un cinematismo ed un qualsiasi ulteriore aumento del carico ql ne
procura il movimento.
Soluzione statica (metodo lower
bound: metodo del limite inferiore)
Il
carico limite calcolato con il metodo statico conduce ad un carico limite ql
minore o al limite uguale all’effettivo carico limite. L’impiego del metodo è preferibile
per strutture composte da pochi elementi come quella in esame.
Per
simmetria le due reazioni in A e in B valgono
Considerando
l’equilibrio alla rotazione in C del tratto CB si ha
dalla
quale si ricava
Soluzione cinematica (metodo
upper bound: metodo del limite superiore).
Il
carico limite calcolato con il metodo cinematico conduce ad un carico limite ql
maggiore o al limite uguale all’effettivo carico limite.
Esso
è basato sul teorema dei lavori virtuali secondo il quale, al momento della
formazione della cerniera in C, il lavoro prodotto dalle forze reali esterne
(il carico ql) dovrà uguagliare quello delle forze interne (i
momenti Mp in A, B e i due momenti Mp in C).
Nell’esempio
si seguirà la seconda modalità di applicazione del teorema, assegnando al
sistema delle forze equilibrate (
, e i quattro momenti Mp) un sistema di spostamenti
arbitrari ma congruente (l’abbassamento w e gli angoli a e
b).
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Il
teorema dei lavori virtuali può essere applicato con quattro differenti
modalità:
Le
forze producono spostamenti: il lavoro è dato dal prodotto della loro
intensità per lo spostamento. I
momenti producono rotazioni: il lavoro è dato dal prodotto della coppia per
la rotazione (espressa in radianti). |
All’abbassamento
del punto C della quantità w corrispondono le rotazioni congruenti a e
b.
Per
angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo
espresso in radianti.
Si
ha
Il lavoro esterno
è dato da
Il lavoro interno
è dato da
Nella quale il
secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto AC (Mpa)
e nel tratto CB (Mpb).
