Analisi plastica. Trave Incastro-Incastro.
Carico concentrato.
Problema. Dopo aver determinato il carico limite Ql per
la trave in figura, utilizzando rispettivamente il metodo statico e quello
cinematico, individuare la distanza x che lo rende minimo.
Reazioni e diagramma dei momenti
Le reazioni
elastiche M offerte dai due incastri valgono
Esse hanno un
valore negativo nel diagramma dei momenti.
Per 
è 
Formazione delle cerniere
plastiche
Al
crescere del carico Q il momento MB aumenta fino a raggiungere il
valore del momento plastico Mp. L’incastro in B si trasforma in una
cerniera plastica in corrispondenza della quale è applicato il momento Mp.
Aumentando
il carico Q anche il momento MA aumenta fino a raggiungere il valore
del momento plastico Mp. Anche l’incastro in B si trasforma in una
cerniera plastica in corrispondenza della quale è applicato il momento Mp.
Aumentando
ancora il carico Q fino al valore del carico limite Ql, il momento MC
cresce fino a raggiungere anch’esso un valore pari a Mp. L’incastro
interno in C si trasforma in una cerniera plastica in corrispondenza della
quale è applicato ancora il momento Mp. La struttura assume la forma
di un cinematismo ed un qualsiasi ulteriore aumento del carico Q ne procura il
movimento.
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Per
La
sequenza nella formazione delle cerniere serve ad una migliore comprensione
del problema ma è assolutamente ininfluente per la sua risoluzione. |
è 
e l’ordine di formazione delle cerniere plastiche è
pertanto A, B e C.Soluzione statica (metodo lower
bound: metodo del limite inferiore)
Il
carico limite calcolato con il metodo statico conduce ad un carico limite Ql
minore o al limite uguale all’effettivo carico limite. L’impiego del metodo è preferibile
per strutture composte da pochi elementi come quella in esame.
Considerando
l’equilibrio alla rotazione in C del tratto CB si ha
dalla
quale si ricava
Analogamente
l’equilibrio alla rotazione per il punto A dell’intera trave AB fornisce
Soluzione cinematica (metodo
upper bound: metodo del limite superiore).
Il
carico limite calcolato con il metodo cinematico conduce ad un carico limite Ql
maggiore o al limite uguale all’effettivo carico limite.
Esso
è basato sul teorema dei lavori virtuali secondo il quale, al momento della
formazione della cerniera in C, il lavoro prodotto dalle forze reali esterne
(il carico Ql) dovrà uguagliare quello delle forze interne (i
momenti Mp in A, B e i due momenti Mp in C).
Nell’esempio
si seguirà la seconda modalità di applicazione del teorema, assegnando al
sistema delle forze equilibrate (Ql e i quattro momenti Mp)
un sistema di spostamenti arbitrari ma congruente (l’abbassamento w e gli
angoli a e b).
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Il
teorema dei lavori virtuali può essere applicato con quattro differenti
modalità:
Le
forze producono spostamenti: il lavoro è dato dal prodotto della loro
intensità per lo spostamento. I
momenti producono rotazioni: il lavoro è dato dal prodotto della coppia per
la rotazione (espressa in radianti). |
All’abbassamento
del punto C della quantità w corrispondono le rotazioni congruenti a e
b.
Per
angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo
espresso in radianti.
Si
ha
Il lavoro esterno
è dato da
Il lavoro interno
è dato da
Nella quale il
secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto AC (Mpa)
e nel tratto CB (Mpb).
Calcolo del valore minimo del
carico limite.
Per simmetria il
valore minimo del carico limite Ql,min si verifica quando esso è
posto a metà campata.
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Ql,min
può essere ottenuto uguagliando a zero il valore della sua derivata. Ricordando che
la derivata dell’inverso di una funzione
è data da
si ottiene
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In questa
posizione il carico limite vale
