Analisi plastica. Trave Incastro-Appoggio. 2 carichi
concentrati.
Problema. Della trave in figura determinare:
ü
il rapporto 
che origina contemporaneamente nei punti C e D una cerniera
plastica.
ü
il momento plastico massimo Mp
sopportabile per Q1 = 40 kN; Q2 = 60 kN; l = 3,6m.
Reazioni e diagramma dei momenti
La reazione
elastica offerta dall’incastro vale
Essa ha un valore
negativo nel diagramma dei momenti.
Formazione delle cerniere
plastiche
Al
crescere dei carichi Q il momento M aumenta fino a raggiungere il valore del
momento plastico Mp. L’incastro in A si trasforma in una cerniera
plastica in corrispondenza della quale è applicato il momento Mp.
Aumentando
ancora i carichi Q i momenti MC ed MD crescono fino a che
uno dei due raggiunge anch’esso un valore pari a Mp. L’incastro
interno nel punto si trasforma in una cerniera plastica in corrispondenza della
quale è applicato ancora il momento Mp. La struttura assume la forma
di un cinematismo ed un qualsiasi ulteriore aumento dei carichi Q ne procura il
movimento.
La
localizzazione della cerniera nel punto C o nel punto D dipende dal rapporto k
tra il valore dei due carichi.
Per
esemplificare i due metodi classici della teoria della plasticità (il metodo
statico e quello cinematico) verrà seguito il primo approccio per l’ipotesi di
cerniera in C ed il secondo per l’ipotesi di cerniera in D.
Cerniera in C.
Soluzione statica (metodo lower bound: metodo del
limite inferiore)
Il
carico limite calcolato con il metodo statico conduce ad un carico limite Ql
minore o al limite uguale all’effettivo carico limite. L’impiego del metodo è preferibile
per strutture composte da pochi elementi come quella in esame.
Considerando
l’equilibrio alla rotazione in C del tratto CB si ha
dalla
quale si ricava
Analogamente
l’equilibrio alla rotazione per il punto A dell’intera trave AB fornisce
Cerniera in D.
Soluzione cinematica (metodo upper bound: metodo del
limite superiore).
Il
carico limite calcolato con il metodo cinematico conduce ad un carico limite Ql
maggiore o al limite uguale all’effettivo carico limite.
Esso
è basato sul teorema dei lavori virtuali secondo il quale, al momento della
formazione della cerniera in C, il lavoro prodotto dalle forze reali esterne (i
carichi Q) dovrà uguagliare quello delle forze interne (i momenti Mp
in A e i due momenti Mp in D).
Nell’esempio
si seguirà la seconda modalità di applicazione del teorema, assegnando al
sistema delle forze equilibrate (Q e i tre momenti Mp) un sistema di
spostamenti arbitrari ma congruente (gli abbassamenti w1 e w2
e gli angoli a e b).
|
|
Il
teorema dei lavori virtuali può essere applicato con quattro differenti
modalità:
Le
forze producono spostamenti: il lavoro è dato dal prodotto della loro
intensità per lo spostamento. I
momenti producono rotazioni: il lavoro è dato dal prodotto della coppia per
la rotazione (espressa in radianti). |
All’abbassamento
del punto D della quantità w2 corrispondono le rotazioni congruenti a e
b.
Per
angoli molto piccoli la tangente può confondersi con il valore dell’angolo
espresso in radianti.
Si
ha
Il lavoro esterno
è dato da
Il lavoro interno
è dato da
Nella quale il
secondo addendo esprime la somma dei lavori prodotti nel tratto AD (Mpa)
e nel tratto DB (Mpb).
Calcolo del rapporto k per la
formazione contemporanea delle cerniere in C e in D.
La formazione
della cerniera plastica in C si verificherà se Mp2 risulterà
maggiore di Mp1 ovvero se
Per 
è
In definitiva si
avrà
|
Posizione della cerniera plastica |
|
Mp |
|
C |
|
|
|
C e D contemporaneamente |
|
|
|
D |
|
|
Soluzione per Q1 = 40
kN; Q2 = 60 kN; l = 3,6m.
Il rapporto tra le
due forze vale
La formazione
della seconda cerniera plastica si verifica in D. Il momento plastico vale
Considerando
l’equilibrio alla rotazione in D del tratto DB si ha
Il momento in C è
dato da
