Confronto analisi. Cemento armato.

 

Problema. Determinare l’armatura necessaria alla trave in spessore di solaio in figura utilizzando

a)   l’analisi elastica lineare senza ridistribuzione dei momenti;

b)   l’analisi elastica lineare con ridistribuzione dei momenti (d = 0,8).

Determinare inoltre:

ü  il momento di fessurazione Mcr per il caso a);

ü  il carico massimo variabile sopportabile dalla struttura utilizzando l’analisi plastica per il caso b).

Noti: b = 45 cm; h =22 cm; l = 4,5 m; q = 12,60 kN/m; calcestruzzo C25/30 (Rck = 30 N/mm2); acciaio B450C; classe di esposizione XC1 (calcestruzzo all'interno di edifici con bassa umidità relativa.); fmin = 12 mm; fmax = 16 mm; fst = 6 mm; diametro massimo degli aggregati Dmax = 25 mm.

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I valori di calcolo dei due materiali risultano pari rispettivamente a:

acciaio: fyd = 391 N/mm2 fyk = 450 N/mm2;

calcestruzzo fcd = 14,11 N/mm2; fctm = 2,56 N/mm2;

 

La percentuale minima di armatura vale:

Il copriferro minimo  è pari a  cmin  = 15 mm.

Assunta una tolleranza di esecuzione  Dcdev = 10 mm, per il copriferro nominale si ottiene

Cnom = 15 + 10 = 25 mm.

La distanza reciproca tra le barre (interferro) deve risultare almeno pari a

ifmin = Dmax + 5 = 25 + 5 = 30 mm.

Il carico permanente strutturale vale

Analisi elastica lineare senza ridistribuzione dei momenti.

Per il calcolo del momento sull’appoggio centrale la configurazione di carico è costituita dal carico g1 ed il carico q presenti su entrambe le campate.

Si ha

 

Applicando la formula di correlazione agli SLU, è

Con la stessa configurazione il momento di campata originato da g1 vale

 

Per il calcolo del momento di campata la configurazione di carico è costituita dal carico g1 presente su entrambe le campate ed il carico q collocato solo sulla campata di sinistra.

Combinando l’azione del peso permanente g1 a quella del carico variabile q si ottiene

 

In realtà i due momenti non si verificano nella stessa sezione. L’approssimazione è a vantaggio di stabilità.

Nella sezione B il momento ridotto risulta pari a

 

In corrispondenza di m = 0,2712 () si ricava dalla tabella il valore di w0 = 0,3257.

L’analisi elastica ha come limitazione ; oltre tale valore vi sono problemi di incertezza del modello.

 

L’armatura necessaria vale, pertanto

Scelta la combinazione

5 f 16 As = 1005 mm2

con staffe a due bracci l’interferro risulta

La percentuale di armatura risulta pari a

Nella sezione D il momento ridotto risulta pari a

In corrispondenza di m = 0,1989, () si ricava dalla tabella il valore di w0 = 0,2249.

L’armatura necessaria vale, pertanto

Scelta la combinazione

6 f 12 As = 678 mm2

con staffe a due bracci l’interferro risulta

La percentuale di armatura risulta pari a

 

Calcolo del momento di fessurazione Mcr.

L’area tesa efficace  (quota della sezione di cls che è soggetta alla trazione) è individuata da un’altezza efficace che assume il minimo dei seguenti valori

Ipotizzato

nella ricerca dell’asse neutro, si ottiene

che conduce all’equazione

 

nella quale è

Posto

si ottiene

Il momento di fessurazione Mcr (crack Moment) vale:

nella quale il coefficiente di durata di applicazione dei carichi  è kt= 0,6 (per breve durata) e fct,eff è il valore medio della resistenza a trazione riferito al tempo in cui si ritiene possano svilupparsi le lesioni: a lungo termine è .

Analisi elastica con ridistribuzione dei momenti.

Il momento MB genera il superamento del limite elastico, provocando una quota aggiuntiva di rotazione della sezione alla quale è associato un momento DM.

DM ha lo stesso verso della rotazione aggiuntiva ed è quindi di segno opposto rispetto ad MB.

 

Il risultato è una riduzione del momento sull’appoggio B

ed un aumento del momento di campata il cui massimo si sposta verso l’appoggio centrale.

DM dipende dalla capacità rotazionale della sezione ovvero dalla sua duttilità e quindi dalla profondità della zona compressa x.

Le Norme Tecniche consentono il ricorso ad un momento ridotto pari a

nella quale è

 con un minimo pari a

Scelto

si ottiene

al quale corrisponde la deformazione unitaria

ed un momento ridotto

 

Nella ricerca del valore del momento di campata, per entrambi i carichi, il diagramma dei momenti dopo la ridistribuzione può essere ottenuto sommando al diagramma elastico quello originato da DM.

 

Carico g1. Trave caricata su entrambe le campate.

Contemporaneamente alla formazione della cerniera plastica in B si ha un aumento del momento positivo di campata con un contemporaneo avvicinamento del punto D verso l’appoggio centrale.

La distanza AD vale

Il momento in D vale

 

Carico q. Trave caricata su una sola  campata.

Analogamente a quanto già visto

 

la distanza AD vale

Il momento in D vale

Il momento di progetto a ridistribuzione avvenuta vale quindi

 

Sezione B

Il momento ridotto risulta pari a

 

Essendo (configurazione di deformazione con xlim   = 0,2880, valore massimo consentito in relazione alla ridistribuzione effettuata) occorre effettuare il progetto a doppia armatura.

Al valore di xlim   = 0,2880 corrisponde wlim = 0,2331.

La sezione semplicemente armata è in grado di sopportare un momento pari a

con un’armatura pari a

ed un’altezza della zona compressa

 

La coppia interna e il diagramma delle deformazioni

La differenza DM tra il momento di progetto MSd e Mlim è fatta sopportare da una sezione composta dalla coppia di armature (senza conglomerato) A’s e DAs. Le armature aggiuntive devono avere il baricentro posizionato alla stessa altezza della sezione precedente.

Il calcolo dell’armatura aggiuntiva a trazione DAs e dell’armatura a compressione A’s può essere condotto osservando che le due forze DS e S’ costituiscono una coppia di forze di braccio pari a d-d’ il cui momento deve equilibrare il momento esterno DM.

Il coefficiente di utilizzazione dell’acciaio compresso vale

La tensione è data da

L’armatura a compressione risulta pari a

Ai quali, ipotizzando almeno due barre con funzione di reggistaffe, corrispondono 2 f 12 A’s = 226 mm2

L’interferro per l’armatura a compressione è pari a

L’armatura aggiuntiva a trazione vale

L’armatura necessaria in trazione vale, pertanto

Scelta la combinazione

5 f 14 As,eff = 769 mm2

con staffe a due bracci l’interferro risulta

 verificato

La percentuale di armatura  a trazione vale

La percentuale di armatura  a compressione vale

 

 

Sezione D

Analogamente a quanto già esaminato, il momento ridotto risulta pari a

 

Essendo (configurazione di deformazione con xlim   = 0,2880, valore massimo consentito in relazione alla ridistribuzione effettuata) occorre effettuare il progetto a doppia armatura.

Al valore di xlim   = 0,2880 corrisponde wlim = 0,2331.

 

La sezione semplicemente armata è in grado di sopportare un momento pari a

con un’armatura pari a

ed un’altezza della zona compressa

Il coefficiente di utilizzazione dell’acciaio compresso vale

La tensione è data da

L’armatura a compressione risulta pari a

Ai quali, ipotizzando almeno due barre con funzione di reggistaffe, corrispondono 2 f 12 A’s = 226 mm2

L’interferro per l’armatura a compressione è pari a

L’armatura aggiuntiva a trazione vale

L’armatura necessaria in trazione vale, pertanto

Scelta la combinazione

5 f 14 As,eff = 769 mm2

con staffe a due bracci l’interferro risulta

 verificato

La percentuale di armatura  a trazione vale

La percentuale di armatura  a compressione vale

 

 

Assumendo il valore minimo di ridistribuzione

si ottiene

al quale corrisponde

La collocazione delle armature superiori alla distanza

vale a dire sotto l’asse neutro (quindi in zona tesa) non avrebbe consentito il progetto a doppia armatura.

Il problema è originato dal modesto valore dell’altezza che caratterizza le travi in spessore di solaio.

 

Assumendo valori di ridistribuzione diversi varia il rapporto tra il momento nelle sezioni B e D. Con valori di ridistribuzione bassi può verificarsi una crescita troppo elevata del momento di campata che avrebbe solo l’effetto di invertire la posizione della sezione più sollecitata passando da B a D.

 

d

MB,Sd (kN/m)

MD,Sd (kM/m)

0,70

39,20

45,39

0,75

42,00

44,67

0,80

44,80

43,98

0,85

47,60

43,28

0,90

50,40

42,58

0,95

53,20

41,91

1,00

56,00

41,22

 

Per assicurarsi il rispetto delle verifiche agli SLE, nella fase del predimensionamento è opportuno seguire le indicazioni  sul rapporto tra altezza della sezione e luce della trave (Circolare NTC08).

Per  si ha

nella quale è K =1,3 per campate terminali

Per la sezione D si ottiene

Per la struttura in esame il rapporto di deformabilità vale

Verificato

 

 

Analisi plastica.

E’ un metodo di analisi utilizzato per la ricerca del carico massimo sopportabile dalla struttura più che per il suo progetto.

La sezione sull’appoggio centrale e quelle di campata sono in grado di sopportare rispettivamente un momento massimo MRd,B e MRd,D = MRd,E. Poiché le tre sezioni sono armate allo stesso modo si ha MRd,B = MRd,D = MRd,E.

La posizione dell’asse neutro può essere determinata risolvendo l’equazione di secondo grado, valida nel campo 3 con acciaio superiore non snervato

Il coefficiente di utilizzazione dell’acciaio compresso vale

(acciaio non snervato)

Le forze interne valgono:

(forza di compressione)

la forza C è applicata ad una distanza dal lembo superiore pari a

La stessa forza è applicata ad una distanza rispetto al baricentro del calcestruzzo pari a
110 – 21 = 89 mm = 0,09 m

Per l’acciaio si ottiene

 (forza di compressione) posizionata ad una distanza di

110 – 39 = 71 mm = 0,07 m dal baricentro del calcestruzzo.

 posizionata ad una distanza di 182 – 110 = 72 mm = 0,07 m dal baricentro del calcestruzzo. La forza è di trazione.

 

Rispetto al baricentro del calcestruzzo si ha

Per il segno da attribuire ai momenti, occorre ricordare che il momento è positivo se produce una trazione in basso (è il caso della forza S) ed una compressione in alto (la forza C e la forza S’).

 

Al crescere del carico q sulla struttura il momento elastico MB raggiunge il valore massimo sopportabile  MRd,B e la  sezione assume un comportamento plastico con la trasformazione dell’incastro interno in una cerniera plastica.

Aumentando ancora il carico q la rotazione nel punto B aumenta ulteriormente ed i momenti  MD ed ME crescono anch’essi fino a raggiungere il loro valore massimo MRd,D trasformando ancora l’incastro interno in cerniera plastica.

La struttura assume la forma di un meccanismo che anche un piccolissimo ulteriore aumento del carico q porterebbe in movimento.

 

Raggiunto il meccanismo le due campate AB e CD hanno lo stesso comportamento plastico di una trave con appoggio e incastro per la quale è (sezioni in B, D ed E aventi la stessa armatura)

In valore assoluto è

con

Per garantire la formazione della cerniera plastica la sezione deve risultare molto duttile. Tale obiettivo è raggiunto per

ü  acciaio a media o alta duttilità (tipo B e C)

ü  rapporto tra luci contigue compreso tra 0,5 e 2 (nel caso in esame il rapporto è pari ad uno)

 

 (cls fino a C50/60)

Non verificato

Nel caso di mancata soddisfazione anche di una sola delle condizioni precedenti l’EC2 richiede una verifica diretta della capacità rotazionale della sezione.

In pratica:

ü  si calcola la curvatura della trave con l’espressione

ü  si determina la rotazione plastica relativa al tratto di trave a cavallo dell’appoggio centrale di lunghezza pari a 1,2 h con l’espressione (valore espresso in milliradianti)

ü  si verifica che la validità della disuguaglianza attraverso il grafico di riferimento

Dal grafico per si ricava . Verificato.

Nel calcolo della distanza x se l’acciaio compresso è snervato è

Nel caso di semplice armatura è

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