A.G.a.Fe
(Algebraic Geometry at Ferrara)
Primi trattati e
memorie sulle funzioni ellittiche
Dopo
i risultati ottenuti da Abel e Jacobi
attinenti la teoria delle funzioni ellittiche, altri matematici si occuparono
di tali questioni e vari i trattati sul’argomento
cominciarono ad apparire a partire dalla metà del XIX secolo.
Per
la diffusione della teoria delle funzioni ellittiche, furono importanti, le
lezioni che Liouville
tenne presso l’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1847. In tali lezioni egli,
sviluppò la teoria delle funzioni ellittiche come funzioni meromorfe
su 
doppiamente
periodiche, senza ricorso al calcolo integrale complesso di Cauchy.
Un
altro passo in avanti fu compiuto da Charles Hermite (1822–1901)
che pose le basi per l’applicazione del calcolo dei residui allo studio delle
funzioni ellittiche nella memoria Sur la théorie de fonctions ellipitques. Purtroppo però di questa memoria fu
pubblicato soltanto l’annuncio nei Comptes rendus de l’Académie des Sciences (vol. XXIX) del
1849.
Nell’ottica
delle lezioni di Liouville è il libro di Auguste Charles Briot e Claude Bouquet , Théorie des fonctions doublemente
périodiques et, in particulier, des fonctions elliptiques (Paris 1859), anche
se qui vi è un esplicito ricorso ai risultati di Cauchy
ed al teorema dei residui seguendo le indicazioni di Hermite.
Quest’opera di Briot e
Bouquet, entrambi allievi di Cauchy e Liouville, fu per lungo tempo il trattato di riferimento
per lo studio delle funzioni ellittiche. Il trattato conobbe una seconda
edizione nel 1875.
Il
primo matematico ad avere l’idea di costruire funzioni ellittiche mediante una
serie fu Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823–1852) nel 1840, idea che sviluppò
nella memoria Beiträge zur Teorie der ellptischen Funktione [Journal fur die Reine und Ang. Math. 35,
1847, 152–247]. In essa egli dimostrò
che le funzioni doppiamente periodiche possono essere ottenute mediante serie
del tipo
alle
quali fu probabilmente indotto dal noto sviluppo 
[Euler, Introductio
in Analysin Infinitorum,
1748, p. 191].
Le
serie introdotte da Eisestein non erano però
convergenti in modulo ed è forse per questo motivo che Weierstrass
ignorò l’originale lavoro di Eisestein, ma, d’altra
parte, è evidente che le serie alle quali pervenne Eisenstein
sono sostanzialmente quelle da cui partì Weierstrass
per definire la sua funzione 
.
Importante
sono le opere: Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale del 1844 di Gudermann,
An elementary Tratise on Elliptic Functions del 1876 di Arthur Cayley, (Cambridge-London) ( traduzione italiana Trattato
elementare delle funzioni ellittiche del 1880 di Brioschi),
Memoire
sur la theorie des fonctions algebriques de deux variables indépendantes del 1889 di Emilé Picard (1856–1941).
Occupa
un posto fondamentale nello studio delle singolarità, il trattato di Felice
Casorati (1835–1890]) Teorica delle funzioni di variabili complesse (Pavia, 1868). Egli
fu fortemente influenzato da Riemann e nel suo libro
tentò di combinare la teoria di Cauchy con le idee di
Riemann. La trattazione delle singolarità isolate
eseguita da Casorati nella Teorica, comprende le singolarità all’infinito. Egli chiama infiniti (come del resto faceva Abel) i poli e divide i punti
di discontinuità (cioè le altre singolarità che non sono né poli né
singolarità rimovibili) secondo che siano o no separate dagli infiniti, nel primo caso cadono le singolarità
essenziali nel secondo caso le singolarità che sono punti di accumulazione di
poli.
Ricordiamo anche il Traité
d’analyse in tre volumi dal 1891–1896 di Emilé
Picard, e l’estesa memoria Sur la représentation analytique
des functions monogènes uniformes d’une variable indépendante [Acta Math. 4, (1884)] di Magnus Gosta Mittag-Leffler
(1846–1927).
