A.G.a.Fe
(Algebraic Geometry at Ferrara)
Abel e l’inversione degli integrali
ellittici di primo tipo
L’analogia degli
integrali ellittici con
ed il teorema di addizione dei Euler,
suggerì a Niels Henrik Abel (1802–1829), lo
studio delle funzioni inverse degli integrali ellittici. L’idea di Abel fu dunque quella di considerare non la dipendenza del
valore dell’integrale di prima specie F
dall’estremo di integrazione, ma di considerare quest’ultimo
come funzione del valore dell’integrale. Infatti nell’introduzione della memoria Recherches sur les fonctions elliptiques (1827) [Journal fur die reine Angewandte
Mathematik, Oeuvres Complétes, par B. Holmboe, Christiana,1839, Tomo I, pp.
141–252; Oeuvres Complétes, par S. Lie et L. Sylow , Christiana,1881, Tomo
I] che ricevette ammirazione
in tutta Europa e collocò
Abel tra i più grandi matematici, scrisse: “
Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, c’est-àdire la fonction φα, determinée par les equations 
. ”
Nel primo quarto del XIX secolo, Augustin Louis Cauchy (1789–1857) aveva posto su solide basi la teoria
dell’integrazione nel campo complesso e questo fu uno strumento importante
negli studi di Abel (e poi di Jacobi). Abel, conosceva
senz’altro i lavori di Euler, Lagrange
e Legendre sugli integrali ellittici ed è possibile
che sia stato ispirato per le sue ricerche da alcune osservazioni di Johann Carl
Friedrich Gauss (1777–1855) nel suo Disquisitiones arithmeticae (v. oltre). Già nel 1823 Abel aveva pensato di invertire gli integrali ellittici per
ottenere nuove funzioni trascendenti. Ciò si evince da alcune lettere
indirizzate all’amico Bernt Holmboe
nel 1826 da Parigi e da Berlino. Molto probabilmente, durante il suo soggiorno
a Parigi, Abel aveva già ottenuto alcuni dei
risultati più importanti su queste funzioni. Dobbiamo dire che il primo ad
avere l’idea di invertire l’integrale ellittico associato all’arco di lemniscata, e studiare la funzione che ne deriva, fu Gauss
(lettera a Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) il 30 marzo 1828):
..fortunatamente non devo affrettarmi a redigere
le mie ricerche sulle funzioni trascendenti, alle quali mi sono dedicato per
molti anni - fin dal 1798. Il Sig. Abel, come ho visto, mi ha preceduto e risparmaiato
la fatica per circa un terzo riguardo a queste cose, tanto più che egli ha dato
tutti gli sviluppi con molta eleganza e
concisione. Egli ha preso proprio la stessa strada che avevo seguito nel 1798 e
non c’è da stupirsi se i risultati coincidono .
[Werke, Bd 10, p. 248].
Infatti in Disquisitiones arithmeticae (1801) Gauss affermò
che:
i
principi della divisione del cerchio possono essere applicati non solo alle
funzioni circolari, ma anche ad altre funzioni trascendenti, per esempio quelle
dipendenti dall’integrale 
” [Werke Bd. 1, pp. 412–413],
dimostrando così di essere a conoscenza del
problema della suddivisione dell’arco di lemniscata.
Gauss non pubblicò mai questi studi, né (come lui stesso afferma nel seguito
della lettera a Bessel) ne parlò con alcuno.
Abel considera gli
integrali del primo tipo
e osserva subito che le formule che andrà a considerare saranno più
semplici se questo integrale è posto nella forma, più simmetrica,
dove c ed e sono costanti reali e 
.
Abel considera la funzione
inversa 
(come x = sinu è l’inversa di 
), che estende ad una
funzione meromorfa φ(z) sul campo complesso per mezzo di
ripetute applicazioni del teorema di addizione e prova che φ(z) è dotata di soli poli
semplici e doppiamente periodica. Così, essenzialmente mediante considerazioni
algebrico geometriche di natura elementare, egli pervenne all’esistenza ed alle
proprietà basilari di quelle che oggi sono dette “funzioni ellittiche”.