Naturalmente il Teorema Fondamentale dell'Algebra, come gli stessi numeri complessi, nasce dallo studio delle equazioni algebriche a coefficienti reali. In questo caso può essere anche formulato nel modo seguente:
Ogni polinomio a coefficienti reali può essere scomposto in fattori lineari o quadratici.
| Infatti per i
polinomi reali se z è uno zero allora lo è anche z* . Ogni espressione quadratica che non ha zeri reali è fattorizzabile come a·(x-z)·(x-z*) . |
Ad esempio per quelli di grado 3: se P(x) = a x3 + b x2 + d x + e e z è uno zero di P(x) allora: a z3 + b z2 + d z + e = 0 => (a z3 + b z2 + d z + e)* = 0 => a (z3)* + b (z2)* + d z* + e = 0 => a z*3 + b z*2 + d z* + e = 0 => z* è soluzione di P(x) = 0. Il metodo è ovviamente generale, qualunque sia il grado |
La storia del TFA si può dire inizi con Descartes . Nel 1637 in La géométrie espresse la convinzione che per qualunque equazione di grado n si potessero 'immaginare' n radici anche se queste radici, perciò dette immaginarie, avrebbero potuto non corrispondere ad alcuna quantità reale.
Una 'dimostrazione' che il TFA è falso fu data da Leibniz nel 1702 quando affermò che x4 + t4 non poteva essere scomposto in fattori quadratici.. Eulero, in una correspondenza del 1742 con Nicolaus(II) Bernoulli e Goldbach, mostrò appunto che il controesempio di Leibniz è falso: usando i complessi, si può infatti scrivere x4 + t4 = (x² + t²·i)·(x² -t²·i).
D'Alembert nel1746 fece il primo serio tentativo. Per un polinomio f presi due reali b, c tali che f(b) = c mostrò che si poteva costruire un'iterazione convergente a uno zero di f. Questa dimostrazione ha diversi punti deboli: usò un lemma la cui dimostrazione fu fatta nel 1851 da Puiseau usando il TFA e inoltre non aveva le necessarie conoscenze per poter usare un argomento sulla compattezza per trarre le conclusioni sulla convergenza finale. Ciononostante le idee proposte sono importanti.
Eulero era già capace di mostrare che ogni polinomio di grado n, n £ 6 ha esattamente n radici complesse. Nel 1749 affrontò il caso generale per polinomi a coefficienti reali:
Ogni polinomio di grado n a coefficienti reali ha esattamente n zeri in C.
La sua dimostrazione su Recherches sur les racines imaginaires des équations si basa sulla scomposizione di un polinomio monico di grado 2n nel prodotto di due polinomi monici di grado m = 2n-1. Allora, poiché ogni polinomio può essere ricondotto a un polinomio monico moltiplicando per axk per qualche k, il teorema seguirà iterando la scomposizione. Eulero sapeva quanto risale a Cardano nell'Ars Magna, o prima, che applicando un'opportuna trasformazione si poteva eliminare il termine di grado n-1 di un polinomio di grado n. Così iniziò dal fatto che:
x2m + Ax2m-2 + Bx2m-3 +. . .
= (xm + txm-1 + gxm-2 + . . .)(xm - txm-1 + hxm-2 + . . .)
I coefficienti g, h, ... saranno funzioni razionali di A, B, ..., t.
Nel 1772 Lagrange avanzò obiezioni alla dimostrazione di Eulero: tali funzioni razionali dovevano condurre a 0/0. Lagrange usò le sue conoscenze sulle permutazioni delle radici per colmare quasi tutte le lacune nella dimostrrazione di Eulero tranne una: che l'esistenza di n radici per un polinomio di grado n andava presupposta.
Laplace, nel 1795, cercò di dimostrare il TFA seguendo un approccio completamente diverso con il discriminante di un polinomio. La sua dimostrazione era molto elegante ma con un piccolo 'problema': l'esistenza delle radici doveva era ancora presupposta.
Gauss è comunemente considerato il primo a dare una dimostrazione del TFA. Nella sua tesi di dottorato del 1799 presentò la sua prima dimostrazione e le obiezioni alle altre. Fu indubbiamente il primo a non dover presuppore l'esistenza di radici di cui cercare di dedurre le proprietà. Gauss disse della dimostrazione d Eulero:
... se uno esegue operazioni con queste radici impossibili, come se davvero esistitessero, e dice per esempio, la somma di tutte radici dell'equazione xm+axm-1 + bxm-2 + . . . = 0 è uguale al valore -a sebbene alcune possano essere impossibili (ciò che davvero significa: anche se qualcuna non esiste e perciò manca), allora posso solo dice che completamente disapprovo di questo tipo di bisticcio.
Gauss non affermava di aver dato la prima dimostrazione del teorema.Chiamava semplicemente nuova la sua dimostrazione ma diceva, ad esempio di quella di d'Alembert, che malgrado le sue obiezioni
una dimostrazione rigorosa può essere costruita a partire dalle stesse basi.
Questa dimostrazione del 1799 è di natura topologica e ha alcune lacune piuttosto serie, tanto che oggi non sarebbe considerata una dimostrazione rigorosa.
Nel 1814 il contabile svizzero Jean Robert Argand pubblicò una dimostrazione del TFA che può considerarsi la più semplice. Era basata sull'idea di d'Alembert del 1746. Argand aveva già abbozzato l'idea in un lavoro pubblicato due anni prima: Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques. Qui egli interpreta i come rotazione di 90° dando origine al piano di Argand o ai diagrammi di Argand come rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Più tardi su Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse Argand semplifica l'idea di D'Alembert usando un teorema generale sull'esistenza di un minimo per una funzione continua.
Nel 1820 Cauchy dedicò un capitolo intero alla dimostrazione di Argand ( ma senza menzionarlo, come sua abitudine) nel suo Cours d'analyse. Tale dimostrazione non era del tutto rigorosa dal momento che il concetto di estremo inferiore non era ancora stato sviluppato a quei tempi. La dimostrazione di Argand raggiunse la fama quando fu data da Chrystal nel suo testo, molto autorevole, Algebra del1886.
Due anni dopo l'apparizione della dimostrazione di Argand, Gauss nel 1816 pubblicò una seconda dimostrazione del TFA, seguendo l'approccio di Eulero ma, anziché con radici che potevano non esistere, operò con indeterminate. Questa dimostrazione è completa e corretta. Nel 1816 ne pubblicò una terza di natura topologica come la prima. Introdusse inoltre nel 1831 il termine 'numero complesso'. Il termine 'coniugato' era stata introdotta da Cauchy nel 1821.
La critica di Gauss alla dimostrazione di Lagrange-Laplace non fu accolta immediatamente in Francia. Nella seconda edizione nel 1808 del suo trattato sulle equazioni, Lagrange non menziona né la nuova dimostrazione di Gauss né la sua critica. Ancora nell'edizione del 1828, edita da Poinsot, esprime piena soddisfazione della dimostrazioe di Lagrange-Laplace e non menziona la critica di Gauss.
Nel 1849 Gauss produce la prima dimostrazione, simile a quella del 1799 (dopo 50 anni estatti!), che una equazione di grado n con coefficienti complessi ha n radici complesse.
E' interessante osservare che, malgrado la sua insistenza sul fatto che non si poteva presumere l'esistenza di radici che doveano essere ha verificate come reali, Gauss ha creduto, come facevano tutti in quei tempi, che c'era tutta una gerarchia di quantità immaginarie nella quale i numeri complessi erano i più semplici. Gauss li ha chiamati un'ombra di ombre.
Fu cercando questa generalizzazione di numeri complessi che Hamilton scoprì i quaternioni nel 1843 circa, una struttura non commutativa. La prima dimostrazione che C è il solo campo commutativo contenente R fu data da Weierstrass nelle sue letture del 1863, pubblicata nel libro di Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme.
Frobenius, per le celebrazioni di Basilea per il bicentenario della nascita di Eulero disse:
Euler ha dato la più algebrica delle dimostrazioni dell'esistenza delle radici di un'equazione, l'unica basata sull'affermazione che ogni equazione reale di grado dispari ha una radice reale. Mi pare ingiusto ascrivere questa dimostrazione esclusivamente a Gauss, che ha aggiunto soltanto l' ultimo tocco .
La dimostrazione di Argand è una dimostrazione di esistenza e non consente in alcun modo di costruire le radici. Weierstrass annotò nel 1859 di aver fatto qualche passo verso una dimostrazione costruttiva, ma solo nel 1940 fu data una variante della dimostrazione di Argand da Hellmuth Kneser. Tale dimostrazione fu successivamente modificata nel1981 da Martin Kneser, figlio di Helmuth.
Tradotto in gran parte da www-history.mcs.st-andrews.ac.uk