I numeri complessi possono
essere praticamente confusi con i punti del piano dopo aver fissato
un punto zero 0, un punto unità 1 e un orientamento - prenderemo
il verso antiorario -. Affinché tali punti si possano considerare numeri,
bastò semplicemente aver "capito come si doveva operare...;" con essi.
L'addizione
estende nel piano in modo naturale quella già vista per i punti reali:
La moltiplicazione,
allo stesso modo dei punti reali, si basa su similitudini: il punto C è prodotto
di A e B quando il triangolo di vertici 0 1 A è simile al
triangolo di vertici 0 B C.
Esercizi:
Dimostra che A+B = B+A qualunque
siano A e B (commutatività della somma tra punti complessi);
muovi il punto B nella figura fino
a sovrapporlo al punto 0 sperimentando in tal modo la regola A+0=A, quale che
sia il punto A;
muovi il punto B nella figura in
modo da sperimentare che l'equazione A+B=0 ha soluzione, quale che sia il
punto A; osserva che in questo caso il punto medio tra A e B coincide
con 0 e quindi B è simmetrico di A rispetto a 0; un tale punto B si dice opposto
di A e si indica con -A;
cerca per quale punto complesso
B si ha che A+B=A;
dimostra che A·B = B·A qialunque
siano A e B(commutatività del prodotto); dimostra cioè che se i triangoli
01A e 0BC sono simili, anche 01B e 0AC lo sono;
sposta il punto B nella figura in
modo da mostrare che l'equazione A·B=1 ha soluzione, quale che sia A;
un tale punto B si dice reciproco di A e si indica con 1/A ;
muovi il punto B nella figura in
modo da sperimentare che l'equazione A·B=0 ha soluzione, sempre la stessa, quale che sia A;
dato A qualunque, muovi B in modo
che A·B=A;
dato B qualunque, muovi A in modo
da cercare di risolvere l'equazione A·B=A;
sperimenta che se A e allineato con
0 e 1, allora AB è allineato con 0 e B;