Si osservi questa sequenza di fatti:
Se A=CDÇC'D' e B= CC' Ç
DD' allora (A B C D) = (A B C' D') . Infatti:
posto T = CD'Ç
AB, |
(OABC) = (OA'BC) Infatti dal teorema di Menelao applicato al triangolo OAA: (BOA)(SAA)(BAO) = 1 Quindi (BCOA)(BCAO) = 1 |
Da questo risultato si ritrova anche la relazione:
(ABCD)=(A'B'C'D'). Infatti da
(OBCD)/(OACD) =
=(ABCD) come da (OB'C'D')/(OA'C'D')
=
=(A'B'C'D') |
Ne concludiamo che questo valore, indipendente dalla secante scelta, si può chiamare di birapporto (a b c d) delle quattro rette
Ricordiamo anche che :
2·areaSAD Im(SAD) sin(ad) SA·SD SD = = sin(ac) 2·areaSAC Im(SAC) SA·SC SC 2·areaSBD Im(SBD) sin(bd) SB·SD SD = = sin(bc) 2·areaSBC Im(SBC) SB·SC SC da cui sin(ad) · sin(bc) Im(SAD) · Im(SBC) = = (abcd) sin(ac) · sin(bd) Im(SAC) · Im(SBD) |
Così una proiettività in cui A®A', B®B', C®C' e D®D'
ha equazione