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Si osservi questa sequenza di fatti:
Se A=CDÇC'D' e B= CC' Ç DD' allora
(A B C D) = (A B C' D')
.

Infatti: posto T = CD'Ç AB,
si consideri il triangolo CDD' e la retta AB; per il teorema di Menelao (ACD)(BDD')(TD'C) = 1 ;
si consideri il triangolo C'D'C e la retta AB; per il teor di Menelao (AC'D') (TD'C)(BCC') = 1 ;
Quindi (ACD)·(BDD') = (AC'D')·(BCC')
ovvero (ACD)/(AC'D') = (BCC')/(BDD')=(BCD)/(BC'D')
da cui (ACD) / (BCD) = (AC'D') / (BC'D' ) , la tesi.

(OABC) = (OA'B’C’)

Infatti dal teorema di Menelao applicato al triangolo OAA’:

(BOA)(SAA’)(B’A’O) = 1
e inoltre (COA)(SAA’)(C’A’O) = 1.

Quindi (BCOA)(B’C’A’O) = 1
da cui (OABC) = 1 /(A’OB’C’) = (OA'B'C')

Da questo risultato si ritrova anche la relazione:

(ABCD)=(A'B'C'D').

Infatti da (OBCD)/(OACD) = …=(ABCD)

come da (OB'C'D')/(OA'C'D') = …=(A'B'C'D')

Ne concludiamo che questo valore, indipendente dalla secante scelta, si può chiamare di birapporto (a b c d) delle quattro rette

Ricordiamo anche che :
           2·areaSAD    Im(SAD)
           ————————      ——————
sin(ad)      SA·SD        SD
——————— = —————————— = ——————————
sin(ac)    2·areaSAC    Im(SAC)
           ————————      ——————
             SA·SC        SC


           2·areaSBD    Im(SBD)
           ————————      ——————
sin(bd)      SB·SD        SD
——————— = —————————— = ——————————
sin(bc)    2·areaSBC    Im(SBC)
           ————————      ——————
             SB·SC        SC
da cui

sin(ad) · sin(bc)     Im(SAD) · Im(SBC)   
—————————————————— = —————————————————— = (abcd)
sin(ac) · sin(bd)     Im(SAC) · Im(SBD)  

Così una proiettività in cui A®A', B®B', C®C' e D®D' ha equazione ( P'A' P'B' P'C' P'D') = (PA PB PC PD) .

L'equazione di una conica per cinque punti A, B, C D ed E: (AC AD AE AP) = (BC BD BE BP)


pagine e figure in CabriJava a cura di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione