L'inversione di centro in un punto S, e dato un punto O, ha equazione (OSP') = (OPS) ovvero

Nel caso O sia il punto 0 si ottiene anche P' = S²/P. Ciò significa che S è la media geometrica tra P e P', il punto complesso medio proporzionale tra i due.

Dunque, fissato 0 e 1, il punto AB è l'inverso di 1 rispetto al centro di inversione tra A e B. Ciò consente una stretta analogia tra moltiplicazione e addizione, essendo il punto A+B il simmetrico di 0 rispetto al centro di simmetria tra A e B. Vale la pena di osservare anche che l'equazione di una simmetria centrale di centro S ha equazione (OSP') = –(OSP), con O punto qualunque del piano.

Si osservi anche che quando O tende a infinito l'inversione di centro S diventa la simmetria di centro S.

Esercizi:

1. Verifica la correttezza della seguente costruzione per le radici quadrate di AB (funzionante anche quando A e B sono allineati).
   Le rette sono le bisettrici r e s di 0A e 0B, mentre la circonferenza risolutiva ha diametro di estremi nei punti sÇC_A e sÇC_B, essendo C_A e C_B le due circonferenze di centro 0 e passanti per A e per B.
2. Verifica la correttezza della seguente costruzione per le radici quadrate di AB (non funzionante quando A e B sono allineati).
   Le due circonferenze per A, B e –|AB|/A* e per |AB|/A*, –|AB|/B* e –A si corrispondono in una inversione rispetto a una circonferenza di centro 0 e che passa per le radici.
3. La media armonica

      AB
    ———————
     A + B
      ———
       2
   

   di due punti è l'inversa rispetto alla media geometrica della media aritmetica.
   Si trova sulla circonferenza per 0, A e B e Si può calcolare facilmente che (A 0 B 2AB/(A+B))=1/2 e del resto (A B (A+B)/2)=1/2.
   Se i punti sono allineati con 0 i moduli di queste medie seguono l'ordine in cui precedentemente sono state citate, altrimenti non necessariamente.
4. La media armonica si può ottenere più semplicemente con la costruzione seguente a partire dalla media aritmetica poiché la bisettrice di A0B e bisettrice anche dell'angolo di lati per 0 e (A+B)/2 e per 0 e 2AB/(A+B)

5. Così come la media aritmetica può generalizzarsi nella media pesata, lo stesso può farsi per la media geometrica. Come (a+b)S = aA+bB Û b(SOA) = -a(SOB), qualunque sia O, così S^a+b = A^a·B^b Û (0SA)^b =(0SB)^-a.
   Ciò si otterà dividendo l'angolo A0B in a+b parti e considerando la spirale dei triangoli simili di vertici:
   0, A e ^a+bÖA^a+b-1B poi 0, ^a+bÖA^a+b-1B e ^a+bÖA^a+b-2B², ..., infine 0, ^a+bÖAB^a+b-1 e B.
   Si può pensare anche a pesi negativi prolungando tale spirale di triangoli simili esternamente all'angolo A0B.
6. Che proprietà ha il punto notevole ³ÖABC di un triangolo ABC (Naturalmente tale punto dipende dalla scelta del punto 0 e perciò forse è più opportuno vederlo come punto notevole di un quadrilatero)