CONGETTURE E CONFUTAZIONI. PRINCIPIO DI INDUZIONE.
ATTIVITA' N. 1:
Dopo aver mandato in esecuzione il programma DERIVE 6, selezionare Espressione, digitare vector(n^2+n+41,n,1,10) < invio >, quindi selezionare Semplifica.
La funzione vector genera un vettore, (cioè una n-upla ordinata di valori, che DERIVE racchiude tra parentesi quadre) le cui componenti sono i valori che l'espressione indicata, in questo caso
n²+ n + 41, assume quando la variabile n assume valori che vanno da un minimo di 1 ad un massimo di 10, a passi di una unità.
Equivale ad un ciclo enumerativo in un linguaggio di programmazione.
Selezionare Semplifica, Fattorizza.
Si noti che questa operazione non sembra produrre alcun risultato, se non quello di riscrivere il vettore: in effetti la funzione Fattorizza realizza la fattorizzazione dell'espressione
evidenziata; ma in questo caso tutte le componenti del vettore sono numeri primi.
Questo ci conduce a formulare la congettura che il polinomio dato fornisca sempre un numero primo, per ogni n numero naturale.
Selezionare Espressione; evidenziare con il mouse la funzione digitata all'inizio di questa attività. Premere il tasto funzione:F3. Questa azione porta l'espressione evidenziata nella linea di editing.
Modificare la funzione in modo che la variabile n assuma valori variabili da 11 a 20, premere invio per confermare, quindi ripetere i comandi Semplifica, Fattorizza.
Ancora una volta si ottengono numeri tutti primi; ciò non fa che confermare la validità della congettura formulata.
Ripetere le azioni precedenti (modifica dell'espressione, poi Semplifica, Fattorizza) in modo da far
variare n da 21 a 30, poi da 31 a 40.
Si noti che l'ultima componente, corrispondente ad n = 40, si fattorizza in 41² .
Abbiamo trovato una confutazione della congettura formulata, che quindi si è rivelata,contrariamente alle nostre aspettative, falsa.
Trovare almeno altri due valori di n che forniscano valori non primi del polinomio.
E' interessante osservare che il primo numero non primo ottenuto è proprio il quadrato del termine noto del polinomio.
Si tratta forse di un risultato generale?
Trovare almeno un esempio
per confutare questa nuova congettura.