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8: Attività - Rettangolo e Quadrato

Definizione:     Un quadrilatero è una figura piana chiusa delimitata da quattro segmenti. Più precisamente diremo che, dati quattro punti A, B, C e D giacenti nello stesso piano ma non allineati tra loro, se i segmenti AB, BC, CD e DA si intersecano solo nei loro punti estremi, allora la loro unione forma un quadrilatero.

Definizione:     Un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli di 90°.

Definizione:     Un quadrato è un rettangolo con quattro lati di lunghezza uguale.

Definizione:     Un quadrilatero si dice  regolare se i suoi lati hanno tutti la stessa lunghezza e se i suoi angoli hanno tutti la stessa ampiezza.

Attività:

1. In geometria iperbolica non esistono rettangoli e quindi, a maggior ragione, non esistono quadrati. In geometria iperbolica se un quadrilatero ha 3 angoli retti allora il terzo angolo deve essere acuto. Costruisci un esempio relativo a questa situazione.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un quadrilatero regolare.
2. Tutti i quadrilateri regolari hanno quattro angoli retti.
3. In un quadrilatero regolare le due rette passanti per i punti medi dei lati opposti dividono il quadrilatero in quattro quadrilateri regolari.
4. Le diagonali di un quadrilatero regolare si intersecano.
5. Le diagonali di un quadrilatero regolare sono tra loro perpendicolari.

9: Attività - Parallelogramma

Definizione:     Un parallelogramma è un quadrilatero con lati opposti paralleli.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un parallelogramma.
2. I lati opposti di un parallelogramma hanno la stessa lunghezza.
3. Gli angoli opposti di un parallelogramma hanno la stessa ampiezza.
4. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano.

10: Attività - Rombo

Definizione:     Un rombo è un quadrilatero con quattro lati aventi la stessa lunghezza.

Attività:      Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?

1. E' possibile costruire un rombo.
2. Gli angoli opposti di un rombo hanno la stessa ampiezza.
3. Le diagonali di un rombo si intersecano.
4. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari.
5. Le diagonali di un rombo sono anche bisettrici.

11: Attività - Poligoni

Definizione:      Un poligono è una figura piana chiusa delimitata da tre o più segmenti.

Definizione:     Un poligono si dice regolare se  i suoi lati hanno tutti lunghezza uguale e se i suoi angoli hanno tutti la stessa ampiezza.

Attività:

1. Quali dei seguenti poligoni regolari si possono costruire con NonEuclid?

• triangolo equilatero ( 3 lati)
• quadrato                   ( 4 lati)
• pentagono                ( 5 lati)
• esagono                   ( 6 lati)
• ettagono                  ( 7 lati)
• ottagono                  ( 8 lati)
• ennagono                ( 9 lati)
• decagono                (10 lati)
• dodecagono            (12 lati)

1. In geometria euclidea un qualsiasi poligono si può inscrivere in un triangolo. Questa asserzione è talmente ovvia che difficilmente si trova nella forma di teorema. In geometria iperbolica ciò non è immediato. Prova a dire se l'asserzione è vera o falsa.
2. In geometria euclidea ogni poligono regolare è inscrivibile in una circonferenza. E in geometria iperbolica?
3. In geometria euclidea ogni poligono regolare è circoscrivibile ad una circonferenza. E in geometria iperbolica?

12: Attività - Circonferenza

Definizione:     Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Notiamo che "l'avere forma circolare" non entra nella definizione di circonferenza.  E' interessante notare che in geometria iperbolica le circonferenze mantengono sempre forma circolare.

Attività:

1. Costruisci una circonferenza e traccia 8 suoi raggi.
2. In geometria euclidea tre punti non allineati individuano una circonferenza.  E in geometria iperbolica? (Suggerimento: cerca un contro esempio ricordando la costruzione euclidea per circoscrivere un triangolo.)
3. In geometria euclidea il rapporto tra lunghezza di una circonferenza e lunghezza del suo diametro è pari a pigreco.  E in geometria iperbolica? (Suggerimento:  come in geometria euclidea la lunghezza della circonferenza si può calcolare come limite dei perimetri di una successione di poligoni regolari inscritti. Al crescere del numero dei lati dei poligoni il perimetro tenderà al valore della lunghezza della circonferenza).