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Attività - L'esplorazione inizia
1: Attività - Angoli Adiacenti
Uno degli esercizi di maggiore interesse da svolgere con NonEuclid consiste nel partire da alcuni enunciati di teoremi validi in geometria euclidea e di vedere quali di questi enunciati rimangono validi anche in geometria iperbolica. Ad esempio, in geometria euclidea, vale il seguente:
Teorema:
Gli angoli adiacenti individuati da due rette che si intersecano sono supplementari ossia la loro somma vale 180°.
Per vedere se questo teorema
rimane valido anche in geometria iperbolica proviamo in primo luogo a cercare un
suo contro esempio, ossia un esempio in cui, nelle ipotesi fatte, la somma di
angoli adiacenti NON vale 180°. Nel caso in cui si riesca a trovare un contro
esempio avremo la certezza del fatto che il teorema non potrà in alcun modo
essere valido in geometria iperbolica.
A questo scopo costruiamo a caso tre o quattro coppie di rette iperboliche
incidenti. Quindi determiniamo il punto di intersezione di ogni coppia di rette.
Abbiamo due modi per determinare l'intersezione di due rette. Nel primo modo,
molto impreciso, apriamo il menu "Costruzioni" e azioniamo il comando
"Punto"; posizioniamo quindi il mouse nel punto di intersezione e clicchiamo.
Il metodo è assai poco accurato in quanto difficilmente si riesce a determinare
la posizione esatta del punto di intersezione tra le rette solo guardando lo
schermo. Un metodo accurato per determinare punti di intersezione tra oggetti
consiste nell'aprire il menu "Costruzioni" e selezionare l'opzione "Punto
di Intersezione". Dopo aver determinato il punto di intersezione tra le
rette dal menu "Misure" selezioniamo il comando "Misura Angolo" e
misuriamo quindi gli angoli adiacenti.
Come abbiamo sottolineato sopra
se riusciamo a costruire un contro esempio del teorema precedente siamo in grado
di affermare che lo stesso teorema non è valido in geometria iperbolica.
Tuttavia nel caso in cui non si riesca a scoprire alcun contro esempio, in
quanto o il teorema rimane vero o non siamo riusciti a trovare il contro
esempio, la questione circa la validità o meno del teorema in ambito di
geometria iperbolica rimane del tutto aperta!
NOTA: fai attenzione agli errori di arrotondamento! Quando attraverso il comando "Misura Angolo" si ottiene il valore 45.5° l'angolo potrebbe misurare anche 45.4817331°. In altri termini NonEuclid approssima alla prima cifra decimale.
2: Attività - Angoli
Cosa
si intende per misura di un angolo iperbolico?
In modo del tutto analogo a quanto accade in geometria euclidea gli angoli
iperbolici sono formati da due semirette iperboliche che hanno estremi
coincidenti. Tuttavia per ampiezza di un angolo iperbolico, come ad esempio
l'angolo BAC di figura, si intende la misura dell'angolo euclideo formato dalle
rette euclidee AB' e AC' tangenti (in senso euclideo) in A rispettivamente agli
archi AB e AC.
Misuriamo Angoli con NonEuclid:
Per misurare un angolo è sufficiente aprire il menu "Misure" e
selezionare l'opzione "Misura Angolo".
Attività: l'enunciato seguente è valido in geometria euclidea. Vale anche in geometria iperbolica?
3: Attività - Triangoli
Definizione: Un triangolo è una figura geometrica piana chiusa delimitata
da tre segmenti.
Attività: Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?
4: Attività - Triangolo Isoscele
Definizione: Un triangolo si dice isoscele se ha due lati di lunghezza
uguale.
Attività: Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?
E' possibile costruire un triangolo isoscele. (Suggerimento: per dimostrare questo teorema è sufficiente costruire un triangolo che soddisfi le richieste della definizione precedente ossia avente due lati di uguale lunghezza.)
5: Attività - Triangolo Equilatero
Definizione:
Un triangolo si dice equilatero se ha tutti i lati di lunghezza uguale.
Attività: Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?
6: Attività - Triangolo Rettangolo
Definizione:
Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto (di ampiezza 90°).
Attività: Nella lista che segue sono elencati alcuni teoremi sui triangoli validi in geometria euclidea. Quali di essi valgono anche in geometria iperbolica?
7: Attività - Triangoli Congruenti
Definizione:
Due triangoli sono congruenti se esiste una corrispondenza tale che tre
coppie di lati corrispondenti hanno lunghezze uguali e tre coppie di angoli
corrispondenti hanno ampiezze uguali.
Attività: