COMPOSIZIONE DI ISOMETRIE

E'possibile comporre due trasformazioni, nel senso che è possibile , data una certa figura, eseguire una dopo l’altra più trasformazioni, anche di tipo diverso e confrontare il risultato ottenuto con la figura iniziale. L’operazione di composizione si chiama “prodotto di trasformazioni”.

Ecco alcuni teoremi fondamentali riguardanti le composizioni di isometrie.

TEOREMA 1: Tutte le isometrie del piano sono composizioni di traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali; in particolare, se due figure sono congruenti, si può trasformare una nell’altra prima con una simmetria assiale (se necessario), poi con una rotazione (se necessario), infine con una traslazione (se necessario).

TEOREMA 2: La composizione di due simmetrie assiali nel piano dà come risultato una traslazione o una rotazione; in particolare, se i due assi di simmetria sono paralleli, ottengo una traslazione; se sono perpendicolari ottengo una rotazione.

TEOREMA 3: Ogni traslazione è data dalla composizione di due simmetrie assiali opportunamente scelte.

TEOREMA 4: Ogni rotazione nel piano è data dalla composizione di due simmetrie assiali.

TEOREMA 5: Ogni isometria è data dalla composizione di tre simmetrie assiali.

TEOREMA 6: Date due isometrie A e B, la composizione AB non è necessariamente equivalente alla composizione BA.

LA GLISSOMETRIA

 Una interessante trasformazione, chiamata GLISSOMETRIA, si ottiene componendo, cioè eseguendo una dopo l’altra, una simmetria assiale e una traslazione.

Il vettore traslazione è parallelo all’asse di simmetria e può essere di qualsiasi lunghezza.

Possiamo pensare alla glissometria come alla composizione di una simmetria assiale seguita da una traslazione oppure viceversa.  

LA ROTAZIONE COME COMPOSIZIONE DI DUE SIMMETRIE ASSIALI

La composizione di due isometrie è ancora una isometria.

Visto che la simmetria assiale è una isometria inversa, componendo due simmetrie assiali otteniamo una isometria diretta: infatti la simmetria assiale dà l’immagine speculare della figura e l’immagine speculare dell’immagine speculare è la figura di partenza.

Quindi la composizione di due simmetrie assiali sarà o una traslazione o una rotazione.

 Componendo due simmetrie assiali, con assi tra di loro perpendicolari, si ottiene una rotazione.  

LA TRASLAZIONE COME COMPOSIZIONE DI DUE SIMMETRIE ASSIALI

 Componendo due simmetrie assiali con assi tra di loro paralleli si ottiene una traslazione.  

LA ROTO-TRASLAZIONE

La composizione di una rotazione con una traslazione si chiama roto-traslazione.