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LA.19) I numeri ordinali capovolti
Gettano nuova luce sui numeri negativi, sulle grandezze continue e discrete, sul nulla e l'immenso, sullo zero e l'infinito
Si è detto che i numeri cardinali, per definizione, indicano la quantità di un gruppo di elementi (paragrafo L.13).

Sembrerebbe dunque che, al nulla, che non esprime quantità, non sia associabile un numero, e che perciò lo 0 (zero), che utilizziamo appunto per esprimere numericamente il nulla, in realtà, non sia un numero.

Per dirimere la questione io penso sia necessario allargare la precedente definizione di numeri cardinali, e nel modo: i numeri cardinali, per definizione, indicano la quantità di un gruppo di elementi, quantità che si è in grado concettualmente di raggiungere.

Ed effettivamente è stato illustrato (paragrafo L.14) che il nulla può essere concettualmente raggiunto.

Per cui il numero zero è senz'altro un numero.

E ancora.

Le quantità, di una grandezza discreta (ad esempio le caramelle), sappiamo che vengono espresse con i simboli (che chiamiamo numeri): 0 (zero), 1 (uno), 2 (due), 3 (tre), e così via.

Chiamiamo riferimento di partenza, il punto da dove inizia la suddivisione (ideale), a seguito del conteggio di una grandezza continua (paragrafo L.14).

Tali numeri (0, 1, 2, 3, e così via), come si è visto, sono anche l'espressione numerica della quantità di intervalli completi raggiunti e superati, e cioè la quantità gli intervalli completi che ci lasciamo dietro, quando, per sapere quanto è grande una grandezza continua discretizzata, ci allontaniamo dal riferimento di partenza.

Sono, insomma, le cosiddette tacche degli intervalli che vengono fuori dal processo di discretizzazione di una grandezza continua. Intervalli con l'estremo inferiore incluso, e con l'estremo superiore escluso.

Se chiamiamo allora con il nome immenso, l'estremo superiore dell'intervallo finale, vuol allora dire che, in base alla definizione allargata di numero cardinale, l'immenso non è un numero, essendo questi escluso dall'intervallo finale, e quindi concettualmente irraggiungibile.

Si è visto (paragrafo L.14) anche che, quando si ha a che fare con le grandezze continue, la designazione cardinale degli intervalli di quest'ultime, non coincide con quella ordinale.

Se infatti mi viene chiesto: "Sei in corrispondenza del 1° intervallo, se ti sposti di 4 posizioni, in corrispondenza di quale intervallo ti ritroverai ?"

La risposta è:

"Del 5° intervallo, ovvero dell'intervallo 4, dato che, essendo la quantità 1 esclusa dal 1° intervallo, il 1° intervallo coincide con l'intervallo 0."

Infatti, dicendo: "del 1° intervallo" e cioè "del primo intervallo", si sottointende che si può essere in un punto qualsiasi del primo intervallo, l'unica cosa di cui si è certi è che non si potrà mai essere in 1.

Da cui l'associazione (non coincidente) fra designazione ordinale e cardinale (valevole per tutte le grandezze continue):

1° intervallo = intervallo 0
2° intervallo = intervallo 1
3° intervallo = intervallo 2
4° intervallo = intervallo 3
5° intervallo = intervallo 4
.................. = ..................
.................. = ..................

E in termini di schemino con designazione ordinale degli intervalli:


      
    0      1      2      3      4      5    immenso   TACCHE
    [  1°  [  2°  [  3°  [  4°  [  5°  [ ..... [      INTERVALLI

rif. di              verso di
partenza ----------> percorrenza


ovvero di schemino con designazione cardinale degli intervalli:


      
    0     1     2     3     4     5    immenso   TACCHE
    [  0  [  1  [  2  [  3  [  4  [ ..... [      INTERVALLI

rif. di              verso di
partenza ----------> percorrenza


Se mi viene anche chiesto:

"Sei in corrispondenza della 1° caramella, se ti sposti di 4 posizioni, in corrispondenza di quale caramella ti ritroverai ?"

La risposta è:

"Della 5° caramella, ovvero della caramella 5, dato che, non potendo scendere al disotto di una quantità pari ad 1 caramella, la 1° caramella coincide con la caramella 1."

Da cui l'associazione (coincidente) fra designazione ordinale e cardinale (valevole per tutte le grandezze discrete):

1° = 1
2° = 2
3° = 3
4° = 4
5° = 5
... = ...

Oltre al modo illustrato di fare ordine con le grandezze discrete, e con le grandezze continue, io credo di averne trovato uno duale, che, fra l'altro, getta nuova luce sulle grandezze continue e discrete, e sui numeri negativi.

Per definizione, dato un gruppo di elementi, i numeri ordinali (1°, 2°, .....) (primo, secondo, .....) indicano la posizione di questi ultimi.

Nulla sembra vietare, dato un gruppo di elementi, di metterli in ordine a partire dall'ultimo e non dal primo. Ovvero di ordinarli nel modo:

ultimo
penultimo
terzultimo
quartultimo
quintultimo
.................
.................

Ed è esattamente quello che ho fatto io.

Subito dopo, ho abbinato dei simboli, all'ordinamento di cui sopra, simboli che ho chiamato numeri ordinali capovolti. L'abbinamento che ho scelto è stato:

ultimo = 1ç°
penultimo = 2ç°
terzultimo = 3ç°
quartultimo = 4ç°
quintultimo = 5ç°
................. = ...
................. = ...

E a questo punto mi sono detto:

"E' tutto perfettamente lecito. Quello che, rispetto all'ordinamento tradizionale nella sostanza cambia, è solo che ora, invece di allontanarmi, mi avvicino al riferimento di partenza, ovvero al punto da dove inizia la suddivisione (ideale), a seguito del conteggio di una grandezza continua (paragrafo L.14)".

E quindi, a differenza di prima, ora, nell'ordinamento capovolto, i numeri: 1, 2, 3, 4, e così via, sono l'espressione numerica della quantità di intervalli completi raggiunti e non superati, e cioè la quantità gli intervalli completi in procinto di superare, quando, per sapere quanto è grande una grandezza continua discretizzata, ci avviciniamo al riferimento di partenza.

Sono, insomma, le cosiddette tacche degli intervalli che vengono fuori dal processo di discretizzazione di una grandezza continua. Intervalli che ora, però, hanno l'estremo inferiore escluso, e l'estremo superiore incluso.

Ma allora vuol dire che, questa volta, l'immenso, e cioè l'estremo superiore dell'intervallo finale, in base alla definizione allargata di numero cardinale, è associabile ad un numero, essendo ora l'immenso incluso nell'intervallo finale, e quindi concettualmente raggiungibile.

Per cui, mentre nell'ambito dell'ordinamento tradizionale, l'immenso non è un numero, nell'ambito dell'ordinamento capovolto, ha la dignità di numero. Ha quindi diritto ad un simbolo, per esempio questo:
oo
e ad un nome numerico, ovvero
infinito.

Chi, nell'ordinamento capovolto, non ha più la dignità di numero, è viceversa il nulla, essendo escluso, l'estremo inferiore, dall'intervallo più distante dal riferimento di partenza.

Nell'ordinamento capovolto, insomma, lo 0 (zero) non esiste.

Se ora mi viene chiesto:

"Sei in corrispondenza dell'1ç° intervallo, se ti sposti di 4 posizioni, in corrispondenza di quale intervallo ti ritroverai ?"

La risposta è:

"Del 5ç° intervallo, ovvero dell'intervallo 5, dato che, essendo la quantità 1 inclusa nell'1ç° intervallo, l'1ç° intervallo coincide con l'intervallo 1."

Infatti, dicendo: "dell'1ç°" e cioè "dell'ultimo intervallo", si sottointende che si può essere in un punto qualsiasi dell'ultimo intervallo, l'unica cosa di cui si è certi è che, al massimo, si è proprio in 1.

Da cui l'associazione (coincidente) fra designazione ordinale capovolta e cardinale (valevole per tutte le grandezze continue):

1ç° intervallo = intervallo 1
2ç° intervallo = intervallo 2
3ç° intervallo = intervallo 3
4ç° intervallo = intervallo 4
5ç° intervallo = intervallo 5
................... = ..................
................... = ..................

E in termini di schemino con designazione ordinale capovolta degli intervalli:


      
  nulla   1     2     3     4     5           oo   TACCHE
    ] 1ç° ] 2ç° ] 3ç° ] 4ç° ] 5ç° ]  ........ ]    INTERVALLI

             verso di                       rif. di            
 ----------> percorrenza                    partenza


ovvero di schemino con designazione cardinale capovolta degli intervalli:


      
  nulla   1     2     3     4     5          oo   TACCHE
    ]  1  ]  2  ]  3  ]  4  ]  5  ] ........ ]    INTERVALLI

             verso di                    rif. di            
 ----------> percorrenza                 partenza


Se mi viene anche chiesto:

"Sei in corrispondenza dell'1ç° caramella, se ti sposti di 4 posizioni, in corrispondenza di quale caramella ti ritroverai ?"

La risposta è:

"Della 5ç° caramella, ovvero della caramella 5, dato che, non potendo scendere al disotto di una quantità pari ad 1 caramella, la 5ç° caramella coincide con la caramella 5."

Da cui l'associazione (coincidente) fra designazione ordinale capovolta e cardinale (valevole per tutte le grandezze discrete):

1ç° = 1
2ç° = 2
3ç° = 3
4ç° = 4
5ç° = 5
..... = .....

Evidenziato che la quantità nulla (e quindi lo zero), relativamente alle grandezze discrete, è del tutto assente in entrambi i tipi di ordinamento, si può aggiungere che nell'ordinamento capovolto, le associazioni, fra designazione ordinale e cardinale, sono indipendenti dalla natura (continua o discreta) della grandezza.

E mentre nell'ordinamento tradizionale, il nulla è associabile ad un numero (lo zero), ma non l'immenso, nell'ordinamento capovolto il nulla è inassociabile, mentre l'immenso è associabile all'infinito.

Possiamo però dire che, nell'ambito del più generale ordinamento globale, che include il tradizionale e il capovolto, sia il nulla che l'immenso sono associabili ad un numero.

E in realtà, quando si ha a che fare con delle grandezze continue, bisogna ricorrere all'ordinamento globale.

La grandezza continua, infatti, non inizia in corrispondenza del punto da dove la si comincia a percorrere nell'ambito del conteggio tradizionale, e quindi dal punto da dove inizia la suddivisione (ideale), ma da ben prima.

Ma da dove ?

Da un punto, l'immenso, concettualmente raggiungibile nell'ambito dell'ordinamento capovolto, e a cui dunque, come si è visto, è associabile un numero, ovvero il simbolo oo (infinito).

Per avere allora una descrizione globale di una grandezza continua, basta combinare in un unico schema, quelli relativi ai due ordinamenti, con ciò ottenendo, rispettivamente, lo schema globale con designazione ordinale:


  ORDINAMENTO CAPOVOLTO 
 rif. di          verso di    
 partenza <------ percorrenza

oo    3     2     1     0    1    2    3  immenso TACCHE
| ... | 3ç° | 2ç° | 1ç° | 1° | 2° | 3° | ... |    INTERV.

                                            ORDINAMENTO TRADIZIONALE 
                                           rif. di          verso di    
                                           partenza ------> percorrenza

e lo schema globale con designazione cardinale: 


  ORDINAMENTO CAPOVOLTO 
 rif. di          verso di    
 partenza <------ percorrenza

oo    3      2      1      0      1      2      3  immenso TACCHE
| ... |  3   |  2   |  1   |  0   |  1   |  2   | ... |    INTERV.

                                                 ORDINAMENTO TRADIZIONALE 
                                                rif. di          verso di    
                                                partenza ------> percorrenza

Si noti che, per entrambi gli schemi, nulla vieta di sistemare, in alternativa, l'ordinamento tradizionale a sinistra, e quello capovolto a destra.

Se siamo interessati ad avere uno schema modificato, con il quale sia possibile distinguere con l'ausilio dei soli simboli numerici, le zone dell'ordinamento tradizionale e capovolto, vediamo se è proprio necessario introdurre nuovi simboli numerici.

Intanto se mi viene chiesto:

"Sei in corrispondenza del 5ç° intervallo, se ti sposti di 4 posizioni all'indietro, allontanandoti, e non avvicinandoti, cioè, dal riferimento di partenza dell'ordinamento capovolto, in corrispondenza di quale intervallo ti ritroverai ?"

La risposta è:

"Dell'1ç° intervallo, ovvero dell'intervallo 1, dato che, essendo la quantità 5 inclusa nel 5ç° intervallo, il 5ç° intervallo coincide con l'intervallo 5."

Infatti, dicendo: "del 5ç°" e cioè "del quintultimo intervallo", si sottointende che si può essere in un punto qualsiasi del quintultimo intervallo, l'unica cosa di cui si è certi è che, al massimo, si è proprio in 5.

Sono dunque passato dalla quantità 5, alla quantità 1.

Ma allora non è necessario introdurre nuovi simboli numerici, basterà indicare le quantità dell'ordinamento capovolto, facendole precedere dal simbolo - (meno).

In tal modo, per passare dalla quantità -5, alla quantità -1, a causa dello spostamento di 4 posizioni, mi basterà fare:
-5 + 4 = -1.

Il risultato è perfettamente analogo se, nel ragionamento, viene alternativamente coinvolta la zona dell'ordinamento tradizionale, e ciò quando, questa volta, ci si avvicina al riferimento di partenza dell'ordinamento tradizionale.

Tutto ciò accade perchè:

- mentre nell'ordinamento tradizionale, essendo il verso di percorrenza da sinistra a destra, gli spostamenti sono positivi quando sono concordi con tale verso, e negativi nel caso opposto

- nell'ordinamento capovolto, invece, essendo il verso di percorrenza da destra a sinistra, gli spostamenti sono positivi quando sono concordi con tale verso e negativi nel caso opposto.

Se voglio che gli spostamenti, per entrambi i tipi di ordinamento, siano sempre da considerarsi positivi, e ad esempio, quando avvengono da sinistra a destra, e negativi quando avvengono da destra a sinistra, basta ridesignare le sole tacche dell'ordinamento capovolto nel modo: -1, -2, -3, e così via.

Lo schema modificato cercato, l'abbiamo, dunque trovato.

C'è lo schema globale modificato con designazione ordinale:


  ORDINAMENTO CAPOVOLTO 
 rif. di          verso di    
 partenza <------ percorrenza

-oo   -3    -2    -1      0    1    2    3  immenso TACCHE
 | ... | 3ç° | 2ç° | 1ç°  | 1° | 2° | 3° | ... |    INTERV.

                                               ORDINAMENTO TRADIZIONALE 
                                              rif. di          verso di    
                                              partenza ------> percorrenza

e lo schema globale modificato con designazione cardinale: 

  ORDINAMENTO CAPOVOLTO 
 rif. di          verso di    
 partenza <------ percorrenza

-oo   -3    -2    -1     0     1     2     3  immenso    TACCHE
 | ... | -3  | -2  | -1  |  0  |  1  |  2  | ... |       INTERV.

                                             ORDINAMENTO TRADIZIONALE 
                                            rif. di          verso di    
                                            partenza ------> percorrenza

Che è l'asse dei numeri reali a tutti noto.

Anche i numeri negativi sono, dunque, indicativi di una quantità.

In ambito cronologico, forse, è più utile far ricorso al successivo schema globale modificato con designazione mista: 


  ORDINAMENTO CAPOVOLTO 
 rif. di          verso di    
 partenza <------ percorrenza

-oo   -3    -2    -1     0   1   2   3  immenso    TACCHE
 | ... | 3ç° | 2ç° | 1ç° | 0 | 1 | 2 | ... |       INTERV.

                                             ORDINAMENTO TRADIZIONALE 
                                            rif. di          verso di    
                                            partenza ------> percorrenza



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