Misurare la Performance: Indice di Sharpe, Rap e Sortino di: Salvatore Guarino

Rendimento e rischio

Tutti quelli come noi, impegnati nel settore finanziario si pongono , prima o poi, una domanda: Quanto ho guadagnato?
O meglio: considerando tutta la mia attività' sul portafoglio, il rischio che mi sono assunto, il risultato che ho conseguito sul portafoglio è corretto ?
La domanda può estendersi con naturalezza al gestore professionale di patrimoni .
Ho consegnato un capitale a questi signori attraverso una Gestione Patrimoniale o un Fondo comune d'investimento, che la Banca o la Sim mi hanno proposto. Ho scelto la linea d'investimento più consona alla mia propensione al rischio, e dopo un periodo ragionevolmente lungo mi trovo a leggere il rendiconto.
Solo a questo punto sorge il problema. Il risultato dell'investimento è corretto in funzione del rischio , e del tempo, in cui è stato impiegato il capitale? E non basta solo il confronto immediato con i risultati di altri gestori. Come posso misurare correttamente il risultato in funzione del rischio ?
In questo breve studio affronteremo il problema.

Possiamo subito affermare che la performance del gestore ( noi stessi o un professionista esterno)in un dato periodo di per sé non dice niente senza alcuna indicazione circa le sue determinanti. (Il rendimento del patrimonio in 12 mesi è stato del 6%. Potrebbe essere eccellente se avessimo investito in titoli senza rischio come i Bot, ma estremamente deludente se avessimo investito in prodotti ad alto rischio, come i derivati ( futures - options)

Il rendimento dunque è funzione di tre variabili:

L'esposizione al rischio: Sappiamo che il rendimento dell'investimento è funzione del rischio assunto. Possiamo contare su un maggior rendimento solo assumendoci un rischio crescente. Nel settore obbligazionario assumere un rischio maggiore significa aumentare o diminuire la cosiddetta duration ( Vita finanziaria residua) del portafoglio, in funzione delle aspettative del livello dei tassi di interesse. Nel settore azionario, invece, significa accettare un portafoglio con un Beta maggiore o minore rispetto al mercato (cfr. il documento sui coefficienti Beta e Alfa)

La Professionalità del gestore e la sua abilità nello scegliere i titoli (selection) e, soprattutto il momento (timing) delle operazioni in acquisto e vendita, anticipando, così le tendenze del mercato. Ovviamente un buon gestore non è quello che assume sistematicamente rischi sul mercato, ma quello che anticipando lo stesso, seleziona i titoli che meglio reagiscono ai nuovi scenari che di continuo si propongono.

L'Imponderabile o, in altri termini, la fortuna (qualcuno parla di un fattore "c.") che deriva dalla casualità degli eventi che il gestore non aveva assolutamente previsto nel suo modellod'investimento. I gestori che si affidano al caso, alternano periodi di performances eccellenti a periodi di performances decisamente negative.

 

La Perduranza

Come dicevamo, un gestore fortunato non può replicare le sue performances per molto tempo di continuo. Perciò, per discriminare un buon gestore da un altro, solo fortunato, occorre valutare le performances realizzate in un tempo relativamente lungo ( ad esempio 3-5 anni). Solo quello bravo riesce ad ottenere rendimenti stabili rispetto ai concorrenti.
Il calcolo della Perduranza deriva dalla frequenza con cui ogni gestore si posiziona nei diversi settori di rendimento e dalla continuità di posizionamento negli stessi.

Un esempio chiarirà meglio:
Osserviamo i rendimenti dei fondi comuni di investimento italiani nell'orizzonte temporale di 3 anni (12 osservazioni trimestrali ). La continuità è calcolata in quest'arco temporale considerando il numero di volte con cui ogni fondo si posiziona nel medesimo settore di rendimento in due trimestri consecutivi.
Giungiamo così al calcolo di un indice di perduranza. Dall'osservazione dell'analisi congiunta della frequenza e della continuità, attribuiamo, quindi, ai due fenomeni un punteggio premiante alla maggiore frequenza e continuità nei migliori settori di rendimento a fronte della maggiore frequenza e continuità negli ultimi settori.
Decidiamo di assegnare a ciascun fondo 4 punti per ogni frequenza al primo settore, 3 nel secondo ,1 nel terzo,0 per l'ultimo.
Assegneremo, invece, 0.70 punti per ogni continuità nel primo settore, 0.20 nel secondo e un punteggio negativo -0,30 e -0.80 per ogni continuità nel terzo e quarto settore.

Tre anni (dati trimestrali) F= frequenza C= continuità
	1F	1C	2F	2C	3F	3C	4F	4C
Azionari Italiani	69	14	165	70	99	24	44	12
Azionari Int.li	58	7	161	33	205	68	119	18
Az. Spec. Italia	41	5	132	38	239	112	96	21
Bilanciati Italiani	91	19	164	56	139	38	51	9
Bilanciati Int.li	43	5	41	5	52	13	54	27

Da una verifica empirica fatta su alcune categorie di Fondi comuni di investimento Italiani, così come definite da Assogestione, si evince mediamente una notevole instabilità dei rendimenti. La ricerca, tra l'altro, ha messo in evidenza che , nella maggior parte dei casi, lo spostamento dei fondi avviene per settori di rendimento continui.

Questo tipo di analisi permette, dunque, di apprezzare in un orizzonte di lungo termine, il dato puntuale di periodo aiutando l'analista a comprendere se gli stessi sono frutto del caso o se si inserisce all'interno di un'attività coerente del gestore.
La Perduranza, viene spesso utilizzata per valutare l'attività di alcuni gestori, non in confronto del mercato ma rispetto ai concorrenti , nell'ottica di garantire agli investitori una certa stabilità di performance.

 

Gli indicatori di rendimento corretti per il rischio

La finalità di tali indicatori è quella di fornire un dato di performance filtrato dalla componente "rischio" inteso quest'ultimo nella comune accezione di deviazione dallo standard.
Si utilizzano due metodologie alternative per il calcolo:

1) R/s (R = rendimento s=rischio) o scale indipendent

Tale metodica , conosciuta come "scale indipendent" è basata sul semplice rapporto tra un indicatore di rendimento ed uno di rischio ,valido per tutti, ed applicato a prescindere dal livello di accettazione di rischio del singolo investitore.

2) R- s o utility based

La metodica utilizzata nell'utility based è basata sulla differenza tra un indicatore di rendimento ed uno di rischio corretto per il grado di sensibilità al rischio: Ossia, il prezzo che l'investitore è disposto a pagare in termini di volatilità per raggiungere un rendimento superiore.

 

L'indice di Sharpe

Il famoso indice di Sharpe fu proposto originariamente nel 1966. Da allora è stato presentato con numerose varianti. Qui ci occupiamo, dell'ultima versione; quella pubblicata dal Journal of Portfolio Management nel 1994.
Rappresenta una misura di rendimento corretto per il rischio basato sul confronto del "maggior rendimento" ( excess return) del fondo rispetto al rendimento di un'attività senza rischio (es. bot), con la misura del rischio(deviazione dallo standard) del maggior rendimento.

Indice di Sharpe=    

Rp= Rendimento di periodo
Rbot= Rendimento dei Bot (uguale periodo)
s er = Rischio dell'excess return (maggior rendimento)

Un esempio renderà tutto più chiaro.

La prima attività, i BOT , rende il 3% a rischio nullo. Il fondo Alfa rende il 5% ma con un rischio del 10% Il fondo Beta rende l' 8% ma con un rischio del 20%

Domanda: quale fondo scegliereste?

Scommetto che molti di Voi hanno pensato al fondo Alfa.

Infatti, applicando il metodo " scale indipendent" nella forma R/s ai due fondi ,essa porta a conclusioni solo apparentemente giuste.

R alfa =0,5		R beta = 0,4
s alfa		s beta

Applichiamo , invece il metodo "R- s o utility based". In effetti considerando che il rendimento del 3% si ottiene senza rischio. per guadagnare un excess return del 2% (5-3)occorrerà assumersi il rischio del 10%
Per guadagnarne il 5% (8-3) occorrerà assumersi il rischio del 20%
Risulta evidente che il fondo beta è da preferirsi. In formule, ricalcoliamo l'indicatore di rendimento corretto per il rischio:

Ralfa - Rbot =0,2		Rbeta - Rbot =0,25
s alfa		s beta

 

Come abbiamo visto, l'indice di Sharpe si fonda sul presupposto che si possa separare il problema della scelta del fondo a maggior performance sul mercato da quello relativo alla propensione al rischio dell'investitore. Infatti, prendendo, o dando a prestito al tasso dell'attività priva di rischio (nell'esempio 3% dei Bot) è possibile modificare la leva finanziaria del portafoglio per soddisfare le esigenze dell'investitore.

 

Rappresentiamolo in termini grafici:

L'indice di Sharpe misura il coefficiente angolare della retta che unisce il rendimento dell'attività priva di rischio con il fondo. Più la retta è inclinata, maggiore è il coefficiente angolare e quindi, il rendimento differenziale per unità di rischio che l'investitore ottiene investendo nel fondo a prescindere dal livello di rischio assunto.

 

L'Indice RAP - risk adjusted performance

L'indice Rap elaborato dall'economista Modigliani, analizza lo stesso fenomeno considerato dall'indice di Sharpe rappresentandolo però in modo diverso.
Nell'indice di Sharpe l'inclinazione della retta identifica la relazione rendimento/rischio del fondo. L'indice Rap, invece affronta il problema rappresentando la misura del rendimento che ogni fondo avrebbe garantito per un livello di rischio analogo a quello del mercato.

Il calcolo del Rap si collega all'utilizzo della leva finanziaria (positiva/negativa) in funzione del livello di rischio del fondo rispetto al mercato secondo la seguente formula:

sm ------rischio di mercato
sp--------rischio del fondo
Rp------rendimento del fondo
Rm-----rendimento del mercato
Rbot----rendimento dei Bot

Se il livello di rischio del fondo è maggiore di quello del mercato, occorrerà vendere una parte delle risorse investite e dirottarle verso l'attività priva di rischio. Viceversa, se il rischio del fondo è inferiore a quello del mercato.

Osserviamo il seguente Esempio:

Fondi	Rendim.to	Rischio	I/Sharpe	R.A.P	Leva	Rank
BOT	5	---	----	----	----
Mercato	12.3	7.2	1.01	----	1.00	---
Fondo A	15.4	12.3	0.85	11.09	0.59	3
Fondo B	12.9	14	0.56	9.06	0.51	6
Fondo C	13.1	11.3	0.72	10.16	0.64	4
Fondo D	9.8	8.6	0.56	9.02	0.84	7
Fondo E	11.3	9.3	0.68	9.88	0.77	5
Fondo F	14.0	8.8	1.02	12.36	0.82	2
Fondo G	12.1	6.3	1.13	13.11	1.11	1 (best)

Desumiamo dall'esempio numerico che il calcolo del Rap consente di stimare il rendimento del fondo per un livello di rischio analogo a quello del mercato.

Ad esempio, il fondo G, il migliore, presenta un rischio inferiore(6.3) a quello del mercato (7.2).
Il Rap pari a 13.11 sta a significare che il fondo avrebbe performato il 13.11% se avesse assunto un rischio (maggiore) pari a quello del mercato.
Da notare che la graduatoria (rank)dei fondi basata sul Rap non cambia se calcolata con l'indice di Sharpe.
E' dunque evidente che le classifiche dei rendimenti dei fondi , come quelle dei patrimoni confrontabili ,
spesso pubblicate dalla stampa specializzata con molta enfasi (……I migliori e i peggiori fondi…) non dà alcuna valida indicazione.
Nell'esempio, la migliore performance è stata realizzata dal fondo A (15.4%) che però si colloca solo al terzo posto valutando il rischio assunto.
Al contrario il Fondo G, migliore di tutti se valutato in funzione del rischio con gli indici di Sharpe e Rap, si pone nelle classifiche di rendimento solo 4° posto.

 

La nozione di RISCHIO

Comunemente s'intende per "rischio" la deviazione dallo standard; o meglio: il rischio come distribuzione dei rendimenti intorno alla sua media.
Se ad esempio, un titolo ha reso, (ex post) in un anno il 7%, nel corso di tale periodo probabilmente, il suo prezzo (corso) avrà subito delle oscillazioni , non proporzionali, in un senso o nell'altro ,che si riflettono anche in un diverso momentaneo rendimento effettivo rispetto alla sua media.

La definizione di rischio come deviazione dalla sua media, però, incontra una decisa limitazione per la presenza del fenomeno della "curtosi" (punta max e minima della distribuzione) e per "l'asimmetria" della distribuzione intorno alla sua media.
Nella letteratura finanziaria troviamo numerose altre nozioni di rischio alternative a quella corrente. Ma, avendo tutte una comune matrice, (distribuzione dei rendimenti) soffrono degli stessi difetti ( shortfall probability, value at risk ecc).

 

 

 

 

DOWNSIDE RISK

Una recente nozione alternativa di "rischio", che tenti di superare i difetti legati all'anomala distribuzione è quella del DOWNSIDE RISK che rispetto alla deviazione standard, presenta il vantaggio di considerare solo la volatilità al ribasso, ignorando quella al rialzo. Infatti se intervistassimo alcuni comuni investitori e chiedessimo loro cosa intendono per "rischio", la maggior parte di essi affermerebbe che per rischio intendono "una misura di rendimento inferiore a quella attesa"
Il DSR è così calcolabile, sia rispetto al rendimento medio del mercato, sia rispetto ad un altro parametro di riferimento come, ad esempio un'attività senza rischio come i BOT.
In formula:

dove si assegna 0 (valore nullo) agli excess return positivi (ER<=0) considerando solo quelli negativi elevati al quadrato e rapportati al numero di periodi temporali considerati.

 

L'Indice di SORTINO

Addiveniamo, così, all'indice di Sortino, che rappresenta un indicatore corretto di rischio molto simile a quello di SHARPE, ma da cui si differenzia per la sostituzione della deviazione Standard del maggior ritorno (excess return) con la nozione di downside risk, rispetto al ritorno di un'attività senza rischio come ad es. i Bot.
Osserviamo la seguente diversa classifica di fondi:

Indice di SHARPE			Indice di SORTINO
Rank	Fondo	Sharpe	Rank	Fondo	Sortino
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Fondo A Fondo B Fondo C Fondo D Fondo E Fondo F Fondo G Fondo H Fondo I	1,215 1,164 1,137 1,133 1,132 1,125 1,101 0,984 0,981	1 2 3 4 5 6 7 8 9	Fondo A Fondo C Fondo D Fondo E Fondo B Fondo F Fondo M Fondo L Fondo R	2,486 2,459 2,428 2,375 2,351 2,297 2,294 2,258 2,173

Nell'esempio di cui sopra abbiamo calcolato e rappresentato la classifica di fondi "specializzati Italia"
secondo i due diversi indici. Sembra evidente che la classifica in base all'indice di Sortino premia i gestori che hanno attuato politiche di "immunizzazione di portafoglio", e per questo motivo mostrano, sovente, ma non sempre, performances non al top della rispettiva categoria .
Nella ns. tabella, ad esempio il fondo B secondo in classifica per indice di Sharpe slitta al 5 posto in quella ordinata con l'indice di Sortino. Il Fondo A invece, mostra una gestione ottimale.
Tale indice viene utilizzato solo a complemento all'indice di Sharpe che rimane il più utilizzato tra gli analisti finanziari.