L'area di una figura a contorno curvilineo

Con il metodo del ricoprimento è possibile misurare, in modo approssimato, la superficie di figure a contorno curvilineo. Ci proponiamo di misurare la superficie di una foglia. Ecco come si può procedere. Consideriamo la figura di una foglia qui sotto riportata.

Area interna

Se contiamo i quadrati di lato 1 cm, ossia i centimetri quadrati interamente contenuti, otteniamo un numero AI  che è un valore approssimato per difetto dell’area di F.

Area esterna

Se contiamo i centimetri quadrati che hanno almeno una parte interna alla figura, otteniamo un numero AE  che è un valore approssimato per eccesso dell’area di F.

AI < AF                                          AI =  16 cm²  

AF < AE                         AE = 42 cm²

Sarà quindi AI < AF < AE

Come è possibile rendere più attendibile la nostra misura?

La misura media

Calcoliamo la media aritmetica dei due valori trovati:

AM =  

Avremo così, un valore AM intermedio fra i due, che è anch’esso un valore approssimato dell’area F, ma è più accettabile dei precedenti. Per avvicinarci di più all’area effettiva, possiamo suddividere l’unità di misura 1 cm  in unità più piccole. Per esempio possiamo considerare un quadrato di mezzo centimetro di lato, cioè un quadrato di area un quarto di centimetro quadrato.

Si può infatti notare che ora sia la superficie occupata dai quadrati interamente contenuti in F sia quella occupata dai quadrati contenuti almeno in parte in F tendono a “ ricoprire” meglio la superficie di F. Contando, con pazienza, otterremo:

AI =  88 (quarti di cm²)

AE = 144 (quarti di cm²)

Calcolando la media aritmetica, si avrà:

AM = (quarti di cm²)

Volendo esprimere quest’ultimo risultato in centimetri quadrati per confrontarlo con quello precedente, basterà dividerlo per 4.

114 : 4 = 28,5 cm²

Esso è ancora un valore approssimato dell’area di F, ma è ad essa più vicino.

E’ possibile capire che, adoperando come unità di  misura il quadratino di lato 1 mm, ossia il millimetro quadrato, e calcolando la media aritmetica tra AI = numero di mm  interamente contenuti in F e AE = numero di mm  contenuti almeno in parte in F, otterremo un valore sempre approssimato dell’area di F ma ad essa ancora più vicino del precedente. Otterremo quindi un valore accettabile perché l’errore che si commette è molto piccolo!

Determinazione pratica dell'area di una foglia

Un altro metodo, per  misurare l’area della nostra foglia, è essenzialmente di natura (empirica). Vediamo come possiamo procedere. Su un cartoncino, a spessore uniforme, disegniamo e poi ritagliamo la nostra figura.

Determiniamone il peso con una bilancia di precisione. Poiché la bilancia di cui disponiamo, è poco sensibile, e quindi non pesa la nostra figura, ci avvaliamo di un metodo indiretto. Dopo aver disegnato, sullo stesso tipo di cartoncino, dieci foglie tutte uguali, pesiamole contemporaneamente: otteniamo il peso PF10  = 5,65 g. Dividendo, ora, questo peso per dieci, abbiamo il peso del cartoncino riproducente una sola foglia.

            PF = 5,65 : 10 = 0,565g

Pesiamo anche un quadratino di lato 1 cm, cioè 1 cm , ritagliato dallo stesso cartoncino (anche questa volta ci avvaliamo, come prima,del metodo indiretto).   Otteniamo che  il peso di  1 centimetro quadrato  di cartoncino è 0,0189gr ed   approssimiamo  questo valore per eccesso ai  millesimi, cioè  P = 0,019g. Se adesso eseguiamo la divisione 0,565 : 0,019, il quoziente ottenuto è il numero dei quadratini di cui è composta la figura, cioè la sua area.

AF = ( 0,565 : 0.019 )cm²= 29,736.....cm²

Confrontando questo valore, con quelli ottenuti con il metodo del “ricoprimento”, notiamo una  corrispondenza quasi completa che ci conforta sulla validità di entrambi i metodi usati.

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