1.                DELAY AND SUM BEAMFORMING.

Il delay and sum beamformiong è il più semplice e vecchio algoritmo dell’array signal processing. L’algoritmo è descritto dal circuito di figura 1.

Figura 1 . 1 Delay and sum beamforming.

I segnali da ciascuno degli M sensori vengono ritardati di un tempo Di, moltiplicati per una costante w_i (peso) e sommati tra loro. I ritardi Di sono calcolati in base alla posizione dei microfoni e in base alla direzione in cui si vuole puntare l’array. La geometria dell’array può essere arbitraria, ma deve comunque rispettare un vincolo: la distanza tra i microfoni non deve essere inferiore a l/2, dove l è una lunghezza d’onda.

Consideriamo un’onda piana che si propaga attraverso l’array:

f( x, t )=s( t - )

r        Versore che indica la direzione di propagazione dell’onda.

x        Vettore che indica una posizione.

c        Velocità dell’onda.

s(.)    Segnale trasportato dall’onda.

Per semplicità sia il segnale una cosinusoide, cioè s(t)=cos(wt), così che possiamo lavorare con i fasori.

f( x, t )=s( t - ) = Re

f( x, t )   Þ    fasore  

dove  è il vettore d’onda.

Calcoliamo il fasore dell’uscita

 è funzione di k, che dipende dalla direzione dell’onda. Se k₀ è il vettore d’onda del segnale verso il quale vogliamo puntare l’array, basta imporre k₀×x_i+wD_i=0  i=1,2,..,M. Imponendo i ritardi , otteniamo:

generalmente si scelgono i w_i in modo che la loro somma sia 1.

L’uscita per k diverso da k₀ risulta:

Tutte le onde che non hanno vettore d’onda k₀ vengono  attenuate.

Vediamo un semplice esempio. Consideriamo un array di tre microfoni disposti secondo i vertici di un triangolo equilatero di lato . Calcoliamo i rittardi da imporre in modo che l’array punti verso onde con vettore d’onda k₀, disposto come in figura 1.2.

Figura 1 . 2 Array triangolare di tre microfoni.

k₀=                       i=1,2,3.

,   D₂ = 0, D₃ = 0.

E’ comodo definire il vettore di steering, d, che ha per componenti dei fasori i cui esponenti sono le fasi, su ciascun sensore, che un’onda piana ha attraversando l’array. d è funzione del vettore d’onda k.

Possiamo pensare al vettore d come funzione dell’angolo q di arrivo dell’onda:

Figura 1 . 3

Definito il vettore dei pesi w :

,

possiamo scrivere il fasore (q) attraverso una notazione molto semplice:

 = w^H × d(q)

Dove l’apice H sta per Hessiano (complesso coniugato e trasposto del vettore). Graficando il modulo quadro di  per diversi valori dell’angolo q si ottiene la figura 1.4.

Figura 1 . 4 Risposta spaziale dell’array triangolare alla frequenza di 1000 Hz.

I problemi legati a questo algoritmo sono i seguenti:

· l’attenuazione del segnale al di fuori della direzione di puntamento è modesta per cui il filtro spaziale che l’algoritmo realizza è alquanto blando,

· il segnale che esce dai microfoni è numerico, quindi, il ritardo deve essere intero. Questo porta a delle incertezze che potrobbero risultare significative.

1.1.         Il guadagno dell’array.

Si definisce guadagno dell’array e lo si indica con G il rapporto:

.

Dove SNR_array e SNR_sensore sono il rapporto segnale rumore rispettivamente all’uscita dell’array e su di un singolo sensore. G non tiene conto del rumore introdotto dal sensore, ma vuole essere una misura della capacità dell’algoritmo di rinforzare il segnale. G può essere scritto in funzione dei vettori d e w prima introdotti, infatti:

dove   e’ il fasore dell’onda di segnale sull’i-esimo sensore,  e’ il fasore del rumore ancora sullo stesso sensore, mentre e indica il valore atteso. Nota, mentre il senale ha fasore non dipendente dal tempo, il rumore e’ tempovariante.

Nel fasore dell’uscita si riconoscono due termini: uno legato solo al segnale, mentre l’altro legato al solo rumore. La potenza di segnale  utile vale:

dove abbiamo indicato con S il vettore dei fasori di segnale sui sensori:

,

(nota, nel caso il segnale e’ un’onda piana S = d vettore di steering)

R = SS^H e’ la matrice di correlazione del segnale. Nota R è una matrice hessiana (R = R^H).

 La potenza di rumore vale:

Abbiamo indicato con N il vettore dei fasori di rumore sui sensori:

 ,

Q = e(NN^H) e’ la matrice di correlazione del rumore e e indica il valore atteso.

Risulta:

Se i sensori sono tutti uguali sulla diagonale principale delle matrici R e Q gli elementi sono tutti uguali e coincidenti con il numeratore e denominatore dell’equazione di SNR_sensore. Sostituendo nell’equazione che definisce G si ottiene:

G(f) =

In questa equazione si e’ messo in evidenza che tutte le matrici che vi compaiono, essendo matrici di fasori, sono funzioni della frequenza. Le matroci R(f) e Q(f) sono le matrici di correlazione del segnale e del rumore entrambe divise per la loro traccia.

La formula del guadagno ricavata sopra e’ molto importante, perche’ molti algoritmi dell’array signal processing si costruiscono andando a travare dei vettori w che  rendano massimo il guadagno G. Ad esempio, attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, il massimo di G rispetto al vettore dei pesi w e’ dato:

valida nell’ipotesi che il segnale sia un’onda piana.