3.                BEAMFORMING ADATTATIVO: L’ALGORITMO DI FROST

Nel capitolo 1 avevamo introdotto un criterio di calcolo dei pesi w basato sulla ricerca del guadagno ottimo G. Questo criterio, classificato in letteratura come optimum beamforming , è basato sulla conoscenza a priori delle matrici R e Q, matrici di autocorrelazione del segnale e del rumore.

Il beamforming adattativo aumenta il guadagno dell’array senza alcuna conoscenza sul rumore, aggiustando i pesi w a partire dalla sola conoscenza dei dati in ingresso come rappresentato in figura 3.1.

Figura 3 . 1 Beamforming adattativo.

L’algoritmo di Frost si basa sull’idea di minimizzare la potenza totale di uscita, che è direttamente misurabile, sotto il vincolo di mantenere la risposta uniteria per segnali che arrivano dalla direzione di puntamento. In formule:

Min_w w^H R w         vincolato                      d^H w = 1

dove d è il vettore di steering nella direzione di puntamento. Più in generale si può generalezzare e introdurre una matrice dei vincoli C^H w = g, che, come minimo, deve contenere il vincolo d^H w = 1. In C possono essere contenuti dei vincoli che introducono dei nulli in particolari direzioni o in generale dei vincoli sulla forma della risposta spaziale dell’array. Il problema posto diventa:

Min_w w^H R w         vincolato                      C^H w = g

La matrice C^H ha dimensionbe K ´ M dove assumiamo che il numero di vincoli K siano linearmente intipendenti e sia  K < M.

Calcoliamo il minimo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange : il problema vincolato si riconduce al calcolo del minimo della funzione :

f(w) =  w^H R w + l₁ v₁ (w) + l₂ v₂ (w) + . . . + l_K v_K (w)

che si può scrivere:

f(w) =  w^H R w + (C^H w - g )^H l

dove l_i ³ 0 sono i moltiplicatori di Lagrange, l è il vettore K´1 dei moltiplicatori, v _i (w) sono i vincoli, cioè le righe dell’equazione C^H w - g . La f(w) raggiunge il minimo per quel w_opt tale che rende nullo il gradiente di f. E’ necessario calcolare D _w f:

D _w f =

Calcoliamo il gradiente per ciascun termine di f:

= ..

..+

=

=

Questa ultima formula è la K-esima riga del vettore M´1

(w^HR)^T + Rw =[1] R^*w^* + Rw = 2 Re (Rw).

=

=

=

Questa ultima formula è la K-esima riga del vettore M´1

j[ (w^HR)^T - Rw ] = j( R^*w^* - Rw) = 2  Im (Rw).

Risulta:

D _w ( w^H R w ) = 2 Re (Rw) + j 2  Im (Rw) = 2 Rw

Con formule altrettanto noiose di quelle viste sopra si calcola il gradiante del secondo termine di f:

D _w (C^* w - g )^H l = C l

Il sistema di equazioni :

Þ                      

è composto da M + K equazioni, dunque può essere risolto rispetto a w e l ( rispettivamente M e K incognite). Ricavando w dalla prima e sostituendo nella seconda:

w = -  R^-1 C l

-  C^H R^-1 C l = g

Ricavando l dalla seconda e sostituendo nella prima:

l = - 2 ( C^H R^-1 C )^-1 g                      ( ip. sia ( C^H R^-1 C )^-1invertibile)

w = R^-1 C ( C^H R^-1 C )^-1 g                                            (1)

E’ utile vedere w come un vettore di C^M e decomporlo nei vettori:

w = w_c + v

dove w_c è la proiezione di w nel sottospazio delle colonne di C, (  Â(C) ), mentre v è la proiezione di w nello spazio ortigonale alle colonne di C, Â(C)^{^}. L’algebra lineare dimostra che lo spazio ortogonale di Â(C) è lo spazio nullo o nucleo di C^H  (  ( C^H ) )[2]:

Â(C) =( ( C^H ) )^{^}.

Siccome la base di Â(C) è composta dalle K colonne di C ( per ipotesi le colonne di C sono linearmente indipendenti: rango di C = K), allora si può calcolare esplicitamente w_c.

Figura 3 . 2 Scomposizione intuitiva di w nelle componenti w_c e v.

Il problema può essere posto in questo modo: trovare x’ Î C^K tale che w_c = C x’ . Risulta    v = w - C x^’ , ma   v   deve essere ortogonale a Â(C) e cioè  per ogni   y  Î Â(C)   deve essere  y^H v = 0, oppure per ogni x Î C^K vale (C x )^H v = 0.

(C x )^H ( w - C x’ ) = 0                     " x Î C^K

x^H ( C^H w - C^H C x’ ) = 0                 " x Î C^K

Queste equazioni sono vere " x Î C^K se e solo se :

C^H w - C^H C x’ = 0       Þ               C^H C x’ = C^H w

Si può dimostrare che se C è una matrice M´K di rango K allora la matrice C^HC è una matrice K´K, hessiana e di rango K, dunque invertibile. Allora:

x’ = ( C^H C )^-1 C^H w

Possiamo calcolare w_c :

w_c = C ( C^H C )^-1 C^H w,                                                (2)

mentre

v = w - C ( C^H C )^-1 C^H w .

Definita P_c = C (C^H C )^-1 C^H , matrice di proiezione, risulta:

w_c = P_c w

v =  ( I - P_c ) w

Sostituendo nella 2 il valore ottimo di w troviamo una nuova formula per w_c :

w_c = C ( C^H C )^-1 C^H R^-1 C (C^H R^-1 C)^-1 g

w_c = C ( C^H C )^-1 g

3.1.         L’algoritmo adattativo

E’ importante notare che w_c non dipende dalla matrice R, il che equivale a dire che non dipende dai segnali in ingresso all’algoritmo, ma solo dai vincoli che abbiamo imposto. Possiamo intuire che comunque variamo v nello spazio  ( C^H ) i vincoli imposti sono rispettati in modo esatto. Allora sembra conveniente adattare v in modo da minimizzare la potenza di uscita muovendolo nella direzione dell’antigradiente secondo l’algoritmo steepest descend. L’algoritmo di adattamento di Frost è dunque il seguente:

w( t + 1) = w_c + ( I - P_c ) [ w( t ) - m R w( t ) ]                        (3)

m è il tasso di adattamento, mentre R w( t ) è il gradiente della potenza di uscita (w^H R w). Il termine ( I - P_c) garantisce che w varia solo nella componente v così in ogni istante saranno rispettati i vincoli.

E’ scomodo che nella 3 compaia R, perché questa è difficile da stimare, allora si può adottare un approccio di tipo LMS in cui a R si sostituisce una sua stima. La più semplice : R ( t) = x (t) x^H (t) , sostituendo nella 3

w( t + 1) = w_c + ( I - P_c ) [ w( t ) - m x (t) x^H (t)  w( t ) ]

w( t + 1) = w_c + ( I - P_c ) [ w( t ) - m x (t) z^*(t) ]                       (4)

La 4 è di più facile implementazione rispetto la 3. Frost dimostrò che l’algoritmo converge se il tasso di adattamento m verifica il vincolo:

3.2.         Prima applicazione dell’algoritmo di Frost

Consideriamo un array di tre microfoni disposti come i vertici di un triangolo equilatero di lato  , come gia avevamo studiato nel capitolo 1.

Figura 3 . 3 . Array triangolare di microfoni.

Ricordiamo il vettore di steering:

d(q) =

Imponiamo due vincoli:

·potenza di segnale unitaria per onde che incidono nella direzione q = p/2. d^H (p/2 ) w = 1.

·potenza di segnale nulla per onde che arrivano dal centro O dell’array. Questo vincolo potrebbe avere senso se l’array è usato come microfoni in un telefono ‘viva voce’ e nel punto O è posto l’altoparlante del telefono. Siccome la onde dal punto O giungono in fase ai tre microfoni, tale vincolo si esprime imponendo che la somma dei pesi w₁ + w₂ + w₃ sia nulla: [1 1 1] w = 0.

I due vincoli costruiscono le matrici C e g di seguito.

C =            g =

Dove si è indicato b = . Con le formule dimostrate sopra si calcolano:

w_c =

P_c =

I - P_c  =

Secondo la formula 4 e le matrici sopra riportate calcoliamo l’algoritmo di adattamento dei pesi:

w₀₁(t +1) = 0

w₀₂(t +1) = ( w₀₂(t ) - w₀₃ (t ) ) + m ( x₃ (t ) – x₂ (t ) ) z^*(t )

w₀₃(t +1) = - w₀₂ (t +1)