se il rango r della matrice completa e quello della incompleta sono uguali
allora
il sistema ha soluzioni (il sistema è compatibile)
se il rango r è uguale al numero di incognite
allora il sistema ha una soluzione unica
altrimenti il sistema ha ∞n-r soluzioni *
altrimenti
il sistema non ha soluzioni (il sistema è incompatibile)
* n-r incognite si parametrizzano
Tecnicamente quando abbiamo un sistema con più equazioni rispetto al rango, isoliamo una sottomatrice quadrata rxr (r è il rango) e consideriamo solo quella le equazioni che corrispondono a quella sottomatrice.
un sistema omogeneo ha sempre soluzioni (per il teorema di Rouché- Capelli la matrice completa non può aumentare il rango rispetto all'incompleta). La soluzione che esiste sempre è la soluzione nulla, ma se il rango è minore del numero delle incognite esistono anche le soluzioni parametriche.