Qual'è il nesso tra queste proporzioni e il pentagono? In ogni figura piana regolare (qualunque figura con i lati e gli angoli interni uguali, o «poligono» regolare) la somma (in gradi) di tutti gli angoli interni e uguale a 180° X (n - 2), dove n è il numero di lati. Per esempio, in un triangolo n = 3 e la somma degli angoli è 180°. In un pentagono n = 5, e la somma degli angoli è 540°. Immaginiamo ora di tracciare nel pentagono due diagonali adiacenti, ricavando tre triangoli isosceli (con due lati uguali). Siccome in un triangolo isoscele i due angoli adiacenti alla base hanno la stessa ampiezza, gli angoli alla base dei due triangoli laterali sono uguali a meta di (180° -108°), cioe a 36°. Pertanto, otteniamo per gli angoli del triangolo centrale i valori di 36°, 72° e 72°.

Bisecando uno dei due angoli di 72°, otteniamo un triangolo più piccolo DEC con gli stessi angoli (36°, 72°, 72°) del triangolo maggiore ADB. Con l'aiuto di un po' di geometria elementare, si può dimostrare che in accordo con la definizione di Euclide, il punto C divide la linea AB esattamente secondo il rapporto aureo. Inoltre, il rapporto di AD con DB è uguale al rapporto aureo. In altre parole, in un pentagono regolare il rapporto tra la diagonale e il lato è pari a Φ. Questo dimostra che la capacità di costruire una linea divisa secondo il rapporto aureo costituisce nello stesso tempo un semplice sistema per la costruzione di un pentagono regolare. Era questa la principale ragione dell'interesse dei greci per il rapporto aureo. Il triangolo al centro, con un rapporto del lato con la base pari a Φ, è noto come «triangolo aureo», mentre i due triangoli laterali,con un rapporto del lato con la base pari a 1/Φ, sono talvolta chiamati «gnomoni aurei». Una singolare proprietà del triangolo aureo e degli gnomoni aurei è che entrambi possono essere scomposti in triangoli più piccoli, che sono a loro volta triangoli aurei e gnomoni aurei.

Rivolgiamo ora la nostra attenzione al rettangolo aureo, il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ.

Immaginiamo di «sottrarre» da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore. Il risultato sarà un piccolo rettangolo, che è a sua volta un rettangolo aureo. Le dimensioni del rettangolo «figlio» sono minori di quelle del rettangolo «genitore» di un fattore pari a Φ. Togliendo un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, otteniamo un terzo rettangolo aureo di nuovo rimpicciolito di un fattore pari a Φ. Proseguendo si genera una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli, di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore uguale a Φ. Esaminando ciascun rettangolo con una lente di ingrandimento, che elimina la differenza di grandezza, si constata che sono identici. Quello aureo e l'unico rettangolo che consente, togliendo un quadrato dalla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo. Tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli, «genitore» e «figlio», si trova che tutte le diagonali passano per un punto. Si può dire che una serie geometrica di rettangoli aurei sempre più piccoli «converga» intorno a quel punto senza mai raggiungerlo.

Il legame del rapporto aureo col pentagono, la simmetria quintupla e i poliedri platonici sono interessanti di per sè, e furono più che sufficienti a destare la curiosità degli antichi greci. La predilezione dei pitagorici per pentagoni e pentagrammi, sommandosi all'interesse di Platone per i solidi regolari e alla sua teoria che questi rappresentassero i principi della struttura materiale del cosmo, spinsero generazioni di matematici a prodigare tempo e fatica ai teoremi riguardanti il rapporto aureo.

Ma esso non avrebbe raggiunto il prestigio e l'aura quasi mistica da cui infine è stato circondato senza l'aiuto di alcune ulteriori proprietà algebriche.

Niente ci vieta di scegliere per unità di misura della lunghezza il segmento più breve, CB. La lunghezza del segmento maggiore, AC, sarà quindi x volte CB, dove x è un fattore sconosciuto (tranne per il fatto di essere maggiore di 1, visto che AC > CB). Dire che la nostra linea è divisa secondo la proporzione estrema e media equivale, per definizione, ad affermare che x stà a 1 come x + 1 (la lunghezza di AB) sta a x. E' facile risolvere rispetto a x la corrispondente uguaglianza:

Infatti, moltiplicando entrambi i membri per x questa diventa:

e spostando il secondo membra a sinistra, si ottiene la semplice equazione di secondo grado:

Le due soluzioni dell'equazione del rapporto aureo sono:

La soluzione positiva, x1 = (1 + sqrt(5)) / 2, fornisce il valore del rapporto aureo:

1,6180339887...

E' facile, a questo punto, constatare che Φ è irrazionale, essendo semplicemente la metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5. Prima ancora di procedere, potete convincervi del fatto che questo numero ha davvero delle proprietà singolari utilizzando una semplice calcolatrice tascabile. Digitate 1,6180339887... e premete il tasto per elevare al quadrato (x²). Non notate niente di singolare? Ora digitate la stessa sequenza di cifre, e premete il pulsante della divisione (1/x). Curioso, vero? Il quadrate di 1,6180339887... è 2,6180339887..., mentre il suo reciproco (1/1,6180339887...) è 0,6180339887... Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse! Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno, e un reciproco uguale a se stesso meno uno. Per inciso, la soluzione negativa dell'equazione x2 = (1 - sqrt(5)) / 2 è pari al negativo di 1/Φ.

La matematica, e il rapporto aureo in particolare, sono ricchi di «belle sorprese», as esempio:

Si immagini di tentare di determinare il valore della seguente, inconsueta espressione consistente in radici quadrate che si succedono indefinitamente:

Possiamo sperare di calcolare il valore di un'espressione simile? Un modo piuttosto goffo di avvicinarsi al suo valore potrebbe consistere nel calcolare sqrt(1 + sqrt(1)) cioè sqrt(2), cioe 1,414...; quindi calcolare sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1))) cioè 1,554..., sperando che la serie di valori «converga» (cioè si avvicini progressivamente) a qualche numero. Ma c'è un altro modo, più elegante, di trovare il valore della nostra espressione. Sia x il valore che stiamo cercando. Possiamo scrivere:

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione. Il quadrato di x è x2, mentre il quadrato del membro di destra si ottiene eliminando il segno di radice più a sinistra. Possiamo quindi scrivere:

Si noti però che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro x originario. Perciò: x² = 1 + x. Ma questa è l'equazione del rapporto aureo! Quindi, la nostra espressione senza fine è uguale a Φ. Occupiamoci ora di un tipo molto diverse di espressioni senza fine, questa volta basato sulle frazioni invece che sulle radici quadrate:

Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come «frazioni continue, di uso piuttosto frequente nella teoria dei numeri. Come calcolare il valore della suddetta frazione continua? Come in precedenza, potremmo interrompere il calcolo dopo un numero abbastanza alto di iterazioni, sperando di trovare il valore verso il quale la frazione continua converge. Ma potremmo ispirarci per analogia anche al secondo metodo. In questo caso, il passo iniziale consisterebbe nell'indicare con x il valore della frazione, scrivendo:

Si noti che siccome la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra dell'equazione è uguale a x stesso. L'equazione può quindi essere scritta:

Moltiplicando ambo i membri per x, otteniamo x² = x + 1, cioè, ancora una volta, la formula del rapporto aureo! Quindi, anche questa notevole frazione continua è uguale a Φ.

Poichè la frazione continua corrispondente al rapporto aureo non contiene numeri al di fuori di 1, converge molto lentamente. In un certo senso il rapporto aureo «resiste» alla propria espressione sotto forma di frazione più di qualunque altro numero irrazionale, e, da questo punto di vista, deve essere considerato «il più irrazionale» degli irrazionali.

Se ancora non vi impressiona che tutte le circostanze matematiche descritte siano riconducibili a Φ, fate la seguente prova:

scegliete due numeri qualunque e scriveteli uno dopo l'altro. Ricavate un terzo numero semplicemente sommando i primi due; poi un quarto numero, sommando il secondo e il terzo; un quinto, sommando il terzo e il quarto; un sesto, sommando il quarto e il quinto; e così via fino a ottenere una serie di venti numeri. Per esempio, se i primi due numeri sono 2 e 5, otterreste la serie 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131... Ora, usate la calcolatrice per dividere il ventesimo numero per il diciannovesimo. Il risultato è il rapporto aureo.

La sezione aurea ha molte incredibili ed intricanti proprietà matematiche:

La successione di Fibonacci tende alla sezione aurea

La successione di Fibonacci è quella serie che si ottiene partendo da 1, 1, ed aggiungendo la somma dei due numeri precedenti, cioè:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 . . .

Dividendo un elemento della serie per il suo precedente si ha:

8 / 5 = 1.6

13 / 8 = 1.625

21 / 13 = 1.615

...

233 / 144 = 1.618055...

1.6180339887498948482045868343656...

Il quadrato della sezione aurea è uguale a se stesso + 1

1.618 x 1.618 = 2.618 cioè 1.618 + 1 che si può scrivere in termini di espressione:

Dividendo 1 per la sezione aurea si ottiene la sezione aurea - 1

1 / 1.618 = 0.618 cioè 1.618 - 1

Due numeri uno il reciproco dell'altro che moltiplicati danno 1.

1.618 è anche chiamato Phi

0.618 è anche chiamato phi

e sono uno il reciproco dell'altro. Questa è una proprietà unica che solo la sezione aurea possiede.

1 / Phi = phi  (1 / 1.618 = 0.618)

e...

1 / phi = Phi  (1 / 0.618 = 1.618)

...e Phi moltiplicato per phi = 1  (1.618 * 0.618 = 1)