il 1° gennaio del 1801 un matematico italiano, Giuseppe Piazzi, annunciava di aver scoperto un nuovo pianeta che ruotava attorno al Sole su un'orbita compresa fra quelle di Marte e di Giove. Cerere, come fu battezzato, era molto più piccolo dei sette pianeti maggiori allora conosciuti.
L'entusiasmo si tramutò in sconforto poche settimane più tardi, quando il piccolo pianeta sparì dalla vista: la sua orbita lo stava conducendo dall'altro lato del Sole, dove la sua flebile luce finiva ingoiata dall'accecante splendore solare. Cerere era scomparso dal ciclo notturno, smarrito dì nuovo fra la pletora di stelle del firmamento. Agli astronomi del XIX secolo mancavano gli strumenti matematici per calcolarne l'orbita completa a partire dalla breve traiettoria che erano riusciti a seguire nelle prime settimane del nuovo secolo. Lo avevano perso, e sembrava che non ci fosse modo di prevedere dove avrebbe fatto la sua comparsa successiva.
Tuttavia, quasi un anno dopo che il pianeta di Piazzi si era dileguato, un tedesco ventiquattrenne di Brunswick annunciò di sapere dove gli astronomi avrebbero dovuto cercare l'oggetto smarrito. In mancanza di previsioni alternative a portata di mano, gli astronomi puntarono i loro telescopi verso la regione del cielo indicata da quel giovanotto. Come per incanto, Cerere si trovava proprio lì.
Questa previsione astronomica senza precedenti non era, però, la misteriosa magia dì un astrologo. Il percorso di Cerere era stato calcolato da un matematico che aveva individuato un ordine laddove altri avevano visto soltanto un minuscolo, imprevedibile pianeta.
Carl Friedrich Gauss aveva preso i pochissimi dati sulla traiettoria del pianeta che erano stati registrati e aveva applicato un nuovo metodo di calcolo che lui stesso aveva sviluppato da poco per determinare dove sarebbe stato possibile trovare Cerere in una qualsiasi data futura.
Grazie alla scoperta della traiettoria di Cerere, Gauss divenne all'istante una stella di prima grandezza all'interno della comunità scientifica. La sua impresa era un simbolo del potere predittivo della matematica in un periodo, il primo Ottocento, in cui la scienza era in piena fioritura. Se gli astronomi avevano scoperto il pianeta per caso, era stato un matematico a far uso delle capacità analitiche necessarie per spiegare che cosa sarebbe accaduto in seguito.
Benché il nome di Gauss fosse ancora sconosciuto nella comunità degli astronomi, la sua giovane voce aveva già lasciato un'impronta formidabile nel mondo matematico. Gauss era riuscito a tracciare la traiettoria di Cerere, ma la sua vera passione era quella di individuare strutture regolari nel mondo dei numeri. Per lui, l'universo dei numeri presentava la sfida più importante: trovare struttura e ordine dove altri riuscivano a vedere soltanto caos. «Bambino prodigio» e «genio della matematica» sono epiteti che si attribuiscono con una frequenza davvero eccessiva, ma pochi matematici avrebbero da ridire sul fatto che queste etichette siano assegnate a Gauss. Il semplice numero di nuove idee e scoperte che egli produsse ancor prima di compiere venticinque anni appare inspiegabile.
Gauss era nato nella famiglia di un modesto lavoratore a Brunswick, in Germania, nel 1777. A tre anni correggeva i conti del padre. A diciannove, dopo aver scoperto una magnifica costruzione geometrica di una figura con 17 lati, si convinse del fatto che avrebbe dovuto dedicare la propria vita alla matematica. Prima di lui, gli antichi greci avevano mostrato che era possibile costruire un pentagono perfetto usando solo una riga e un compasso. Dopo di allora nessuno era stato in grado di mostrare come utilizzare quella semplice attrezzatura per costruire altri poligoni perfetti, poligoni regolari, come li sì definisce, con un numero primo di lati. L'eccitazione che Gauss provò quando scoprì una maniera per costruire quella figura perfetta di 17 lati lo spinse a iniziare un diario matematico che avrebbe tenuto per i diciotto anni seguenti. Questo diario, che rimase nelle mani della famiglia fino al 1898, è diventato uno dei documenti più importanti nella storia della matematica, non da ultimo perché confermò che Gauss aveva dimostrato, senza peraltro pubblicarli, molti risultati per la cui riscoperta altri matematici dovettero spìngersi ben dentro il XIX secolo.
Il calcolatore ad orologio
Uno dei maggiori fra i primi contributi matematici di Gauss fu l'invenzione del «calcolatore a orologio». Non si trattava di una macchina materiale, ma di un'idea che apriva la possibilità di fare aritmetica con numeri che in precedenza erano stati considerati troppo ingombranti. Il calcolatore a orologio funziona in base all'identico principio di un orologio convenzionale. Se il vostro orologio dice che sono le 9 e voi aggiungete 4 ore, la lancetta delle ore si sposterà sull'una. Allo stesso modo, il calcolatore a orologio di Gauss fornirebbe 1 invece di 13 come risultato di 9 + 4. Se Gauss voleva fare un calcolo più complicato, come ad esempio 7 X 7, il calcolatore a orologio gli restituiva il resto che si ottiene dividendo 49 (ossia 7x7) per 12. Il risultato è di nuovo 1.
Ma era quando Gauss voleva calcolare 7x7x7 che la potenza e la velocità del calcolatore a orologio cominciavano a emergere. Invece di moltiplicare un'altra volta 49 per 7, Gauss poteva limitarsi a moltiplicare per 7 l'ultimo risultato ottenuto, cioè 1, per ottenere la risposta, cioè 7. Così, senza dover calcolare 7x7x7 (che fa 343), egli sapeva con poca fatica che quel risultato diviso per 12 dava resto 7. Il calcolatore dimostrò tutta la sua potenza quando Gauss cominciò a utilizzarlo con grandi numeri, numeri che oltrepassavano le sue stesse capacità di calcolo. Pur non avendo idea di quanto facesse 799, il suo calcolatore a orologio gli diceva che quel numero diviso per 12 avrebbe dato come resto 7.
Gauss si rese conto che non c'era nulla di speciale negli orologi con 12 ore sul quadrante. Perciò introdusse l'idea di un'aritmetica dell'orologio (o aritmetica modulare, come viene a volte chiamata) basata su orologi con un numero qualsiasi di ore. Per esempio, se inserite il numero 11 in un calcolatore a orologio diviso in 4 ore, la risposta che otterrete sarà 3, dato che 11 diviso per 4 da come resto 3. Gli studi compiuti da Gauss su questo nuovo tipo d'aritmetica rivoluzionarono la matematica all'inizio del XIX secolo. Così come il telescopio aveva permesso agli astronomi di vedere nuovi mondi, l'invenzione del calcolatore a orologio aiutò i matematici a scoprire nell'universo dei numeri strutture che per generazioni erano rimaste celate alla vista. Ancora oggi l'aritmetica modulare di Gauss è fondamentale per la sicurezza in Internet, dove si utilizzano orologi con quadranti che comprendono più ore degli atomi esìstenti nell'universo osservabile.
Gauss, figlio di genitori poveri, ebbe la fortuna di poter mettere a profitto il proprio talento matematico. Era nato in un'epoca in cui la matematica era ancora un'attività privilegiata, finanziata da corti nobiliari e mecenati, o praticata da dilettanti come Pierre de Fermat nel tempo libero. Il signore che proteggeva Gauss era Carlo Guglielmo Ferdinando, duca di Brunswick. La famiglia di Ferdinando aveva sempre sostenuto la cultura e l'economia del ducato. Suo padre aveva fondato il Collegium Carolinum, una delle più antiche università tecniche tedesche. Permeato dell'ethos paterno secondo cui l'istruzione era alla base dei successi commerciali di Brunswick, Ferdinando era sempre alla ricerca di talenti che meritassero un sostegno. Si imbattè per la prima volta in Gauss nel 1791, e rimase così impressionato dalle sue capacità che si offrì di finanziare quel giovane perché frequentasse ìl Collegium Carolinum e potesse così realizzare il proprio evidente potenziale.
Fu con molta gratitudine che Gauss dedicò il suo primo libro al duca nel 1801. Quel libro, intitolato "Disquisitiones arìthmeticae", raccoglieva molte delle scoperte sulle proprietà dei numeri che Gauss aveva registrato nei suoi diari. È opinione generale che quest'opera non sia una semplice raccolta di osservazioni sui numeri, ma il libro che annunciò la nascita della teoria dei numeri come disciplina indipendente. Fu la sua pubblicazione a fare della teoria dei numeri «la Regina della Matematica», come Gauss amò sempre definirla. E se quella teoria era una regina, per Gauss i gioielli incastonati nella sua corona erano i numeri primi, i numeri che avevano affascinato e tormentato generazioni di matematici.
(Tratto da "L'enigma dei numeri primi - Marcus Du Sautoy - 2005 BUR Saggi)
Carl Friedrich Gauss