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Evariste Galois
Questa è la storia di uno straordinario genio della matematica, il francese Evariste Galois (1811-1832), vissuto agli inizi del 1800, che visse un'esistenza sfortunata ed incompresa, troppo avanti le sue intuizioni e scoperte per essere comprese dai contemporanei. Morì, sfortunatamente, giovanissimo.
Evariste Galois nacque a Bourg-la-Reine, un piccolo villaggio nei sobborghi meridionali di Parigi, il 25 ottobre 1811, ventidue anni dopo la Rivoluzione francese. Napoleone Bonaparte era al culmine del suo potere, ma l'anno successivo vide la disastrosa campagna di Russia, e nel 1814 Napoleone fu mandato in esilio, mentre re Luigi XVIII gli succedeva sul trono. Nel 1815 Napoleone fuggì dall'Elba, entrò a Parigi e reclamò il potere, ma dopo cento giorni fu sconfitto a Waterloo e costretto ad abdicare di nuovo a favore di Luigi XVIII.
Galois, così come Sophie Germain, crebbe in un periodo di enormi sconvolgimenti, ma mentre la Germain si isolò dai tumulti della rivoluzione per concentrarsi sulla matematica, Galois si trovò ripetutamente al centro della lotta politica, che non solo lo distolse da una brillante carriera accademica, ma lo condusse anche a una morte prematura.
Oltre all'irrequietezza generale che pervadeva la vita di tutti, Galois aveva una passione per la politica che gli era stata ispirata dal padre, Nicholas-Gabriel Galois. Quando Evariste aveva solo quattro anni, suo padre fu eletto sindaco di Bourg-la-Reine. Ciò avvenne durante il trionfale ritorno al potere di Napoleone, in un periodo in cui i forti valori liberali di suo padre erano in armonia con lo spirito della nazione. Nicholas-Gabriel Galois era un uomo colto e di buon cuore, e nei suoi primi anni da sindaco si guadagnò il rispetto della comunità, tanto che conservò la sua carica elettiva anche quando Luigi XVIII ritornò sul trono. Al di fuori della politica, il suo interesse principale sembra fosse la composizione di rime argute che leggeva alle assemblee cittadine per la gioia dei suoi elettori. Molti anni più tardi questo talento delizioso per gli epigrammi lo avrebbe condotto alla rovina.
A dodici anni Evariste Galois cominciò a frequentare la sua prima scuola, il liceo Louis-le-Grand di Parigi, un istituto prestigioso ma autoritario. All'inizio Evariste non affrontò corsi di matematica, e il suo curriculum scolastico era discreto ma non eccezionale. Nel primo trimestre accadde tuttavia un evento che lo avrebbe segnato per il resto della vita. Un tempo il liceo era stato una scuola diretta dai gesuiti
e durante quel primo trimestre cominciò a circolare la voce che fosse sul punto di ritornare sotto l'autorità dei preti, quel periodo repubblicani e realisti erano continuamente in lotta per spostare gli equilibri di potere fra Luigi XVIII e rappresentanti del popolo, e l'influenza crescente dei preti a considerata come l'indizio di un allontanamento dal popolo a favore del re. Gli studenti del liceo, che per lo più avevano simpatie repubblicane, progettarono un atto di riunione, ma il direttore della scuola, un certo Berthod, scoprì il piano ed espulse immediatamente i capi della rivolta, circa una dozzina di studenti. Il giorno seguente, quando Berthod pretese dagli altri studenti più grandi una dimostrazione di fedeltà al re, essi rifiutarono di brindare a Luigi XVIII, dopodiché ne furono espulsi altri cento. Galois, che era troppo giovane per essere coinvolto nella fallita rivolta, rimase al liceo. Tuttavia, il fatto di aver visto i suoi compagni di studio umiliati a quel modo servì soltanto a infiammare le sue simpatie repubblicane.
Fu solo a sedici anni che Galois assistette alle sue prime lezioni di matematica, iscrivendosi a un corso che lo avrebbe trasformato agli occhi dei suoi insegnanti da un allievo coscienzioso in uno studente indisciplinato. Dalle sue note scolastiche risulta che egli trascurava tutte le altre materie e si concentrava esclusivamente sulla sua nuova passione.
Ben presto l'insegnante di Galois non fu più in grado di soddisfare la passione del suo allievo per la matematica, e così egli si mise a imparare direttamente dalle opere più recenti dei maestri del suo tempo. Galois assorbiva con prontezza i concetti più difficili, e a diciassette anni pubblicò sugli Annales de Gergonne il suo primo articolo scientifico. Per il ragazzo prodigio sembrava aprirsi una strada libera da impedimenti verso il futuro, ma doveva essere proprio la sua limpida intelligenza a costituire l'ostacolo più grande ai suoi progressi. Benché ovviamente le sue conoscenze di matematica fossero più che sufficienti per passare gli esami del liceo, le soluzioni di Galois erano spesso così innovative e raffinate che i suoi esaminatori non erano in grado di apprezzarle. A rendere le cose peggiori, Galois eseguiva moltissimi calcoli a mente, e non si preoccupava di delineare con chiarezza il suo procedimento sulla carta, lasciando gli inetti esaminatori ancora più perplessi e frustrati.
Un temperamento irritabile e un'impetuosità che non gli attiravano la simpatia degli insegnanti, o di chiunque altro incrociasse la sua strada, non contribuivano a migliorare la situazione del giovane genio. Quando Galois fece domanda di ammissione all'Ecole Polytechnique, il collegio universitario più prestigioso del paese, le sue cattive maniere e la mancanza di spiegazioni chiare nel corso dell'esame orale gli valsero il rifiuto della domanda di ammissione. Galois era ansioso di frequentare l'Ecole Polytechnique non solo per la sua eccellenza accademica, ma anche perché era un centro di attivismo repubblicano. L'anno successivo egli presentò di nuovo domanda di ammissione, e ancora una volta i suoi brillanti salti logici nel corso dell'esame orale servirono solo a confondere il suo esaminatore, un professore di nome Dinet. Intuendo che stava per fallire per la seconda volta e frustrato per il fatto che non venisse riconosciuta la sua intelligenza, Galois ebbe uno scatto di collera e gettò una cimosa contro Dinet, centrandolo in pieno. Galois non sarebbe mai più ritornato nelle venerate aule dell'Ecole Polytechnique.
Per nulla intimidito dalle bocciature, Galois conservò la fiducia nel proprio talento matematico e continuò le sue ricerche in privato. Il suo principale interesse era rivolto alla ricerca delle soluzioni di equazioni simili a quelle note come equazioni di secondo grado. Le equazioni di secondo grado hanno la forma
Il problema è trovare i valori di x per i quali l'equazione è vera. Invece di procedere per tentativi, i matematici preferiscono avere una formula che permetta loro di trovare le soluzioni, e fortunatamente questa formula esiste:
Si possono calcolare i valori corretti di x semplicemente sostituendo i valori di a, b e c nella formula soprascritta. Ad esempio, possiamo applicare la formula per risolvere la seguente equazione:
Inserendo i valori di a, b e c nella formula, si trova che le due soluzioni dell'equazione sono x = 1 e x = 2.
Le equazioni di secondo grado fanno parte di una classe molto più vasta di equazioni chiamate polinomiali. Un tipo più complesso di polinomiale è l'equazione di terzo grado:
La complicazione è data dal termine addizionale x^3. Aggiungendo un altro termine, x^4, otteniamo l'equazione polinomiale di grado superiore:
Nel diciannovesimo secolo i matematici possedevano anche le formule per la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado, ma non conoscevano alcun metodo per trovare le soluzioni delle equazioni di quinto grado:
In Galois nacque l'ossessione di trovare una formula per risolvere le equazioni di quinto grado, che costituiva una delle grandi sfide dell'epoca, e all'età di diciassette anni egli aveva compiuto progressi sufficienti per sottoporre due articoli di ricerca all'Accademia delle Scienze. Il relatore incaricato di giudicare gli articoli era Augustin-Louis Cauchy, che molti anni dopo avrebbe polemizzato con Lamé su una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat rivelatasi poi errata. Cauchy fu notevolmente impressionato dal lavoro del giovane e giudicò che fosse degno di essere presentato in concorso al Gran Premio di Matematica dell'Accademia. Per poter essere ammessi alla competizione i due articoli avrebbero dovuto essere ripresentati nella forma di un unico saggio, perciò Cauchy li restituì a Galois e attese la sua iscrizione.
Dopo essere sopravvissuto alle critiche dei suoi insegnanti ed essere stato rifiutato dall'Ecole Polytechnique, il genio di Galois era sul punto di essere riconosciuto, ma nel corso dei tre anni successivi una serie di tragedie personali e professionali avrebbero distrutto le sue ambizioni. Nel luglio del 1829, a Bourg-la-Reine, dove il padre di Galois era ancora sindaco, giunse un nuovo prete, un gesuita. Il prete disapprovava le simpatie repubblicane del sindaco e intraprese una campagna politica per spodestarlo dal suo ufficio, diffondendo voci mirate a gettare discredito sulla sua persona. In particolare, l'astuto gesuita si servì della reputazione di Nicholas-Gabriel Galois come compositore di rime argute. Scrisse una serie di poesie volgari che mettevano in ridicolo alcuni membri della comunità, e le firmò col nome del sindaco. Il vecchio Galois non riuscì a sopportare la vergogna e l'imbarazzo che ne seguirono, e decise che la sola scelta onorevole era il suicidio.
Evariste Galois, tornato per partecipare ai funerali di suo padre, vide con i propri occhi le divisioni che il prete aveva creato nel villaggio. Mentre la bara veniva calata nella fossa, esplose una zuffa fra il gesuita, che stava celebrando il servizio funebre, e i sostenitori del sindaco, che si erano resi conto del complotto perpetrato per scalzarlo. Il prete fu ferito alla testa, la zuffa si trasformò in un tumulto, e la bara fu lasciata cadere senza cerimonie nella fossa. Il giovane Galois aveva già tendenze liberali, e la vista di suo padre umiliato e distrutto dal sistema politico che dominava la società francese servì soltanto a consolidare il suo appoggio fervente alla causa repubblicana.
Tornato a Parigi, Galois stese il suo saggio molto prima che scadessero i termini di iscrizione alla competizione, e lo consegnò al segretario dell'Accademia, Joseph Fourier, che avrebbe dovuto passarlo al comitato giudicante. La dissertazione di Galois non forniva una soluzione per le equazioni di quinto grado, ma offriva una brillante intuizione, e molti matematici, compreso lo stesso Cauchy, lo ritenevano un probabile vincitore. Con grande sorpresa di Galois e dei suoi amici, non solo egli non ricevette il premio, ma non vi era stato neppure iscritto ufficialmente. Fourier era morto poche settimane prima della valutazione, e benché al comitato fosse stata trasmessa una pila di lavori ammessi alla competizione, il saggio di Galois non ne faceva parte.
Galois pensò che il suo saggio fosse stato perso deliberatamente da un'Accademia politicamente orientata, un'idea che si rafforzò l'anno successivo, quando l'Accademia respinse un altro suo manoscritto sostenendo che «le argomentazioni non sono né sufficientemente chiare né sufficientemente elaborate per permetterci di giudicarne il rigore». Decise allora che c'era una cospirazione per escluderlo dalla comunità dei matematici e trascurò le sue ricerche per dedicarsi a combattere per la causa repubblicana. A quel tempo era uno studente dell'Ecole Normale Supérieure, un collegio universitario di poco inferiore per prestigio all'Ecole Polytechnique. All'Ecole Normale la fama di sovversivo di Galois superò la sua reputazione di matematico. Ciò culminò in un episodio accaduto durante la rivoluzione del luglio 1830, quando Carlo X abbandonò la Francia e le fazioni politiche si scontrarono nelle strade di Parigi.
Il direttore dell'Ecole, Guigniault, uomo di fede realista, sapendo che i suoi studenti erano in maggioranza repubblicani radicali li confinò nel dormitorio e serrò i portoni del collegio. A Galois era stato impedito di combattere al fianco dei suoi compagni, e quando alla fine i repubblicani furono sconfitti, alla frustrazione si sommò la rabbia. Non appena se ne presentò l'opportunità, egli pubblicò un feroce attacco contro il direttore del collegio, accusandolo di codardia. Come era facile prevedere, Guigniault espulse lo studente insubordinato e pose fine alla carriera matematica ufficiale di Galois.
Il 4 dicembre il genio respinto tentò di diventare un ribelle di professione arruolandosi nell'artiglieria della Guardia Nazionale, un settore della milizia di simpatie repubblicane. Prima della fine del mese il nuovo re Luigi Filippo, ansioso di evitare altre ribellioni, sciolse l'artiglieria della Guardia Nazionale. Galois si ritrovò povero e senza casa. Il giovane talento più brillante di tutta Parigi era vittima di continue persecuzioni, e alcuni dei suoi vecchi colleghi matematici cominciavano a essere sempre più preoccupati per il suo stato. Sophie Germain, che a quel tempo era la timida decana dei matematici francesi, espresse i suoi timori al conte Libri Carrucci:
Senza dubbio tutto ciò che ha a che fare con la matematica è sfiorato dalla disgrazia. La morte di Monsieur Fourier è stato il colpo finale per Galois, questo studente che, a dispetto della sua intemperanza, mostrava i segni di un'indole intelligente. È stato espulso dall'Ecole Normale, è senza soldi, anche sua madre possiede molto poco ed egli continua nel suo atteggiamento ribelle. Dicono che diverrà completamente pazzo. Temo che sia vero.
Finché la passione di Galois per la politica continuava, era inevitabile che la sua sorte peggiorasse ulteriormente, come dimostra un episodio documentato dal grande Alexandre Dumas. Dumas si trovava al ristorante Vendanges de Bourgogne quando gli capitò di assistere a un banchetto in onore di diciannove repubblicani prosciolti da un'accusa di cospirazione:
All'improvviso, nel mezzo di una conversazione privata che stavo tenendo con la persona seduta alla mia destra, mi giunse all'orecchio il nome di Luigi Filippo, seguito da cinque o sei fischi. Mi voltai. A quindici o venti posti da me si stava svolgendo una scena animatissima. In tutta Parigi sarebbe difficile trovare duecento persone più ostili al governo di quelle che si erano riunite alle cinque del pomeriggio nel lungo salone al piano terreno, sopra il giardino. Un giovane che aveva sollevato il bicchiere e brandiva nella stessa mano un pugnale sguainato stava cercando di farsi sentire. Evariste Galois era uno dei più ardenti repubblicani. Il baccano era tale che era diventato impossibile comprenderne la ragione stessa. Tutto ciò che riuscii a capire fu che venne formulata una minaccia e che fu fatto il nome di Luigi Filippo: il coltello sguainato rendeva chiare le intenzioni. Questo era troppo anche per le mie idee repubblicane. Cedetti alle pressioni del mio vicino di sinistra che, essendo uno dei commedianti del Re, temeva di essere compromesso, e saltammo dal davanzale della finestra nel giardino. Tornai a casa piuttosto preoccupato. Era chiaro che quell'episodio avrebbe avuto delle conseguenze. Due o tre giorni dopo, infatti, Galois fu arrestato.
Dopo un mese di detenzione nel carcere di Sainte-Pélagie, Galois fu accusato di aver minacciato la vita del re e venne condotto in giudizio. Benché le sue azioni lasciassero pochi dubbi sulla sua colpevolezza, a causa della rumorosità del banchetto nessuno potè confermare di aver sentito Galois formulare minacce dirette. Una giuria benevola e la tenera età del sovversivo (Galois non aveva ancora compiuto vent'anni) portarono al suo proscioglimento. Il mese successivo fu arrestato di nuovo.
Nell'anniversario della presa della Bastiglia, il 14 luglio 1831, Galois marciò per Parigi indossando l'uniforme degli artiglieri della Guardia Nazionale, ormai fuorilegge. Benché il suo fosse soltanto un gesto di sfida, Galois fu condannato a sei mesi di carcere, da scontare a Sainte-Pélagie, durante i quali, lui che era astemio, fu indotto a bere dai furfanti che gli stavano intorno.
Una settimana dopo, dalla garitta di fronte al carcere un cecchino sparò un colpo nella cella in cui si trovava Galois, ferendo l'uomo che gli stava accanto. Galois era convinto che il proiettile fosse destinato a lui, e che ci fosse un complotto del governo per assassinarlo. L'idea della persecuzione politica lo terrorizzava; inoltre la lontananza dagli amici e dalla famiglia e il rifiuto delle sue idee matematiche lo fecero precipitare in uno stato di depressione. Nel delirio di un'ubriacatura tentò di pugnalarsi a morte, ma i suoi compagni di prigionia riuscirono a trattenerlo e a disarmarlo.
Nel marzo del 1832, un mese prima che Galois finisse di scontare il periodo di pena, a Parigi esplose un'epidemia di colera e i prigionieri di Sainte-Pélagie furono rilasciati. Ciò che accadde a Galois nelle settimane successive è stato oggetto di infinite congetture, ma quello che è certo è che gli eventi di quel periodo furono la conseguenza di una storia d'amore con una donna misteriosa di nome Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, la figlia di un rispettato medico parigino. Non ci sono indizi sul modo in cui iniziò la relazione, ma i dettagli della sua tragica conclusione sono ben documentati.
Stéphanie era già fidanzata con un gentiluomo di nome Pescheux d'Herbinville, il quale scoprì l'infedeltà della sua amata. D'Herbinville era furioso e, essendo una delle migliori pistole di Francia, non esitò a sfidare immediatamente Galois a un duello all'alba. Galois conosceva bene la reputazione del suo rivale. La sera precedente al duello, pensando che fosse l'ultima opportunità di affidare i suoi pensieri alla penna, scrisse alcune lettere ai suoi amici per spiegare le circostanze in cui si era venuto a trovare:
Prego i miei compatrioti, i miei amici, di non rimproverarmi se non muoio per il mio paese. Muoio vittima di un'infame civetta e di due uomini che sono il suo zimbello. È per una miserabile calunnia che pongo fine alla mia vita. Oh! Perché morire per qualcosa di così piccolo, di così spregevole? Chiamo il ciclo a testimone che soltanto per costrizione e per forza ho risposto a una provocazione che ho tentato con tutti i mezzi di evitare.
Nonostante la sua devozione alla causa repubblicana e la storia d'amore in cui era coinvolto, Galois aveva sempre conservato la passione per la matematica, e una delle sue più grandi paure era che la sua ricerca, che era già stata rifiutata dall'Accademia, andasse persa per sempre. Nel disperato tentativo di ottenerne il riconoscimento, passò tutta la notte a scrivere teoremi che, pensava, avrebbero chiarito completamente l'enigma delle equazioni di quinto grado. Le pagine che vergò erano in gran parte una trascrizione delle idee che aveva già sottoposto a Cauchy e Fourier, ma nascosti fra i complessi passaggi algebrici c'erano riferimenti occasionali a Stéphanie ed esclamazioni di disperazione: «Mi manca il tempo! Mi manca il tempo!». Al termine della notte, quando aveva completato i calcoli, Galois scrisse una lettera di accompagnamento indirizzata al suo amico Auguste Chevalier, con la richiesta che, se fosse morto in duello, le carte venissero distribuite ai più grandi matematici d'Europa:
Mio caro amico,
E. Galois
La mattina seguente, mercoledì 30 maggio 1832, Galois e d'Herbinville si affrontarono a venticinque passi di distanza in un campo isolato, armati di pistola. D'Herbinville era accompagnato dai suoi secondi, Galois era solo. Non aveva confidato a nessuno la sua vicenda; un messaggero che aveva mandato a suo fratello Alfred non avrebbe comunicato la notizia del duello fino a che non si fosse concluso, e le lettere che aveva scritto nella notte precedente non sarebbero giunte al suo amico che dopo molti giorni.
Le pistole furono sollevate e i colpi partirono. D'Herbinville rimase in piedi, Galois fu colpito allo stomaco. Giaceva per terra senza più speranze. Non c'erano medici e il vincitore si allontanò con calma lasciando il suo avversario ferito a morire. Alcune ore più tardi Alfred arrivò sulla scena dello scontro e trasportò suo fratello all'ospedale Cochin. Ma ormai era troppo tardi: era sopravvenuta una peritonite e il giorno seguente Galois morì.
Il suo funerale fu farsesco quasi quanto quello di suo padre. La polizia pensava che sarebbe stato l'epicentro di un raduno politico, e nella notte precedente arrestò trenta attivisti. Ma per la cerimonia si riunirono comunque duemila repubblicani, e fra gli amici di Galois e gli ufficiali governativi venuti a controllare gli eventi scoppiarono dei tafferugli.
La rabbia di coloro che seguivano il funerale era dovuta alla convinzione crescente che d'Herbinville non fosse un fidanzato tradito ma un agente del governo, e che Stéphanie non fosse una donna innarrrorata ma una seduttrice assolda-ta per il complotto. Episodi come quello del colpo sparato contro Galois quando si trovava nelle prigioni di Sainte-Pélagie già facevano sospettare l'esistenza di una cospirazione per eliminare il giovane agitatore, e così i suoi amici giunsero alla conclusione che egli era stato coinvolto con l'inganno in una storia d'amore che faceva parte di una macchinazione politica per ucciderlo. Alcuni storici hanno sostenuto che il duello fu la conseguenza di una tragica storia d'amore, altri che ebbe motivazioni politiche, ma qualunque sia stata la verità, uno dei più grandi matematici del mondo fu ucciso all'età di vent'anni, dopo essersi dedicato alla matematica per cinque anni soltanto.
Prima di rendere pubbliche le carte di Galois, suo fratello e Auguste Chevalier le riscrissero in forma ordinata per dare chiarezza agli argomenti e ampliarne le spiegazioni. La fretta e l'inadeguatezza abituali con cui Galois esponeva le sue idee furono senza dubbio esacerbate dal fatto di aver avuto una sola notte per riassumere in poche pagine anni di ricerche. Benché i due avessero mandato come dovuto copie del manoscritto a Gauss, Jacobi e altri, l'opera di Galois non ottenne alcun riconoscimento per oltre un decennio, finché nel 1846 una copia non giunse nelle mani di Joseph Liouville. Nei calcoli Liouville riconobbe l'impronta del genio, e passò mesi a cercare di interpretarne il significato. Infine redasse il saggio e lo pubblicò sul suo prestigioso Journal de Mathématiques pures et appliquées. La reazione degli altri matematici fu immediata e notevole, perché Galois aveva realmente formulato una spiegazione completa di come si poteva procedere per trovare le soluzioni delle equazioni di quinto grado.
In primo luogo Galois aveva classificato tutte le equazioni di quinto grado in due tipi: quelle che erano risolubili e quelle che non lo erano. Quindi aveva ideato una formula appropriata per trovare le soluzioni delle equazioni risolubili. Inoltre Galois aveva studiato le equazioni polinomiali di grado superiore al quinto, cioè quelle che contenevano i termini x^6, x^7 e così via, e aveva scoperto un metodo per stabilire quali fossero risolubili. Fu uno dei capolavori della matematica del diciannovesimo secolo, creato da uno dei suoi eroi più tragici.
Nella sua introduzione al saggio, Liouville rifletteva sui motivi per cui il giovane matematico era stato respinto dai suoi colleghi più anziani e su come i suoi sforzi avevano resuscitato Galois:
Un desiderio esagerato di concisione fu causa di questo difetto che più di ogni altra cosa bisognerebbe sforzarsi di evitare quando si trattano le questioni astratte e misteriose dell'Algebra pura. La chiarezza è, senza alcun dubbio, ancor più necessaria quando si tenta di condurre il lettore lontano dalle strade battute e in territori inesplorati. Come disse Descartes, «quando sono in discussione questioni trascendentali, siate chiari in modo trascendentale». Troppo spesso Galois trascurò questo precetto; e possiamo comprendere come matematici illustri abbiano ritenuto opportuno cercare, con la severità dei loro saggi consigli, di ricondurre un principiante, pieno di genialità ma privo di esperienza, sulla retta via. L'autore che censurarono si presentò al loro cospetto pieno di ardore e di vivacità; avrebbe dovuto trarre profìtto dai loro consigli. |
Evariste Galois
dove a, b e c possono assumere qualsiasi valore.
in cui si è posto a = 2, b = -6 e c = 4.
