La quadratura dei rettangoli

Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti 1 X 1, 1 x 2 e 2 X 3, si ottiene il quadrato dell'ultimo numero di Fibonacci dei prodotti in questione. Nell'esempio, 1 + 2 + 6 = 9 che è appunto il quadrato dell'ultimo numero di Fibonacci che compare nei prodotti (3). Un altro esempio? Proviamo la serie dei sette prodotti 1 x 1 (1), 1 x 2 (2),2 x 3(6), 3 x 5 (15), 5 x 8 (40),8 x 13 (104) e 13 X 21 (273); effettivamente la loro somma (441) è uguale al quadrate di 21, ultimo numero di Fibonacci della serie dei prodotti. Lo stesso accade con undici prodotti: (1 x 1) + (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 5) + (5 x 8) + (8 x l3) + (13 x 21) + (21 x 34) + (34 x 55) + (55 x 89) x (89 x 144) = 20736, e 20736 = 1442. Questa proprieta può essere rappresentata con grande eleganza in modo geometrico, come mostrato la figura. Un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrate, il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande. La figura mostra il caso in cui si ottengono sette rettangoli.

Il diabolico undici

La successione di Fibonacci ha una proprietà connessa col numero 11, che è assai bella.

Immaginiamo di sommare i primi dieci numeri di Fibonacci: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143. Questa somma è esattamente divisibile per 11: 143/11 = 13. Lo stesso vale per qualunque decina di numeri di Fibonacci consecutivi. Per esempio, 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 + 4181 = 10.857; e 10.857/11 = 987. Esaminando questi due esempi, si può scoprire ancora qualcosa: la somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a undici volte il settimo numero del gruppo.

Periodicità

Gli antichi babilonesi usavano 60 anzichè 10 come base del loro sistema di numerazione. E sebbene i numeri di Fibonacci non abbiano, per quanto sappiamo, particolari collegamenti con l'antica Babilonia, ne hanno invece almeno uno col numero 60.

Poichè un numero di Fibonacci è la somma dei due precedenti, i termini della successione crescono in fretta. Mentre il quinto numero di Fibonacci è semplicemente 5, il centoventicinquesimo e già 59.425.114.757.512.643.212.875.125. Curiosamente, la cifra delle unità si ripete con periodicità sessagesimale. Per esempio, il secondo numero di Fibonacci è 1, e il sessantaduesimo, cioè 4.052.739.537.881, termina anch'esso con 1. Quanto al centoventiduesimo, esso è 14.028.366.653.498.915.298.923.761, e termina con 1 al pari del centottantaduesimo, e così via. Allo stesso modo, il quattordicesimo è 377, e il settantaquattresimo e 1.304.969.544.928.657, che, come si nota, termina ugualmente con 7.

Le ultime due cifre si ripetono con una periodicita pari a 300, e le ultime tre con una periodicita pari a 1500. Nel 1963 Stephen P. Geller, con l'aiuto di un calcolatore, ha scoperto che le ultime quattro cifre si ripetono ogni quindicimila termini, le ultime cinque ogni centocinquantamila, e dopo quasi tre ore di funzionamento del calcolatore, una ripetizione delle ultime sei cifre si è manifestata in corrispondenza col 1.500.000esimo numero di Fibonacci. Il matematico israeliano Dov Jarden mostrò che per qualunque numero di cifre da tre in poi la periodicità è semplicemente uguale a 15 moltiplicato 10 elevato a una potenza pari al numero di cifre meno 1 (cosicchè, per esempio, se le cifre sono sette la periodicità corrispondente è di l5 x 10⁶ = 15 milioni).

Numeri enigmatici

Le proprietà dell'universo, dalla grandezza degli atomi a quella delle galassie, sono determinate dai valori di pochi numeri noti come «costanti universali». Tali costanti includono le misure della grandezza delle principali forze della natura: gravitazionale, magnetica, e di due forze attive nei nuclei atomici. Per esempio, la forza elettromagnetica attiva tra due elettroni è espressa in fisica come una costante detta «di struttura fine». Il valore di quest'ultima, quasi esattamente pari a 1/137, ha fatto sorgere interrogativi in intere generazioni di fisici. Una battuta sull'illustre fisico inglese Paul Dirac (1902-1984), uno dei fondatori della meccanica quantistica, racconta che, giunto in paradiso, l'uomo abbia avuto il permesso di rivolgere una sola domanda a Dio in persona e che gli abbia chiesto: «Perchè proprio uno su 137?».

Anche la successione di Fibonacci ha i suoi numeri enigmatici. Per esempio il suo undicesimo termine: 89. In forma decimale, 1/89 è uguale a 0,01123595... Immaginate di disporre i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... come decimali, nel modo seguente:

In altre parole, scrivendo la cifra delle unita del primo numero di Fibonacci al secondo posto, quella del secondo numero al terzo posto, e in generale la cifra delle unità dell'ennesimo numero di Fibonacci al (n + l)esimo posto. Ebbene, limitandosi agli otto addendi citati, il risultato è 0,01123595..., cioè 1/89.

trucco dell'addizione fulminea

La successione di Fibonacci permette di effettuare un'addizione istantaneamente senza fatica. La somma dei numeri di Fibonacci dal primo all'ennesimo è uguale all'(n + 2)esimo numero meno 1. Per esempio, i primi dieci (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55) sommati danno 143; e il dodicesimo numero di Fibonacci e 144. Allo stesso modo la somma dei primi settantotto numeri di Fibonacci sarà uguale all'ottantesimo numero meno 1, e così via.

Fibonacci pitagorici

Abbastanza stranamente, i numeri di Fibonacci sono collegati anche alle terne pitagoriche. Queste, sono terne di interi tali che, se interpretati come lunghezze, corrispondono ai lati di un triangolo rettangolo (per esempio 3, 4 e 5). Ebbene, scegliete quattro numeri di Fibonacci quasiasi, purchè consecutivi: per ipotesi, 1, 2, 3 e 5. Il prodotto degli estremi (1 X 5, cioe 5), il doppio del prodotto dei medi (due volte 2 x 3, cioè 12), e la somma dei quadrati dei medi (2² + 3², ossia 4 + 9, cioè 13) formano una terna pitagorica; infatti, 5² + 12² = 13². Ma non è tutto: il terzo numero della terna, 13, è esso stesso un numero di Fibonacci.

Viste queste misteriose e affascinanti caratteristiche dei termini della successione di Fibonacci, non stupisce che i matematici fossero ansiosi di trovare una formula maneggevole per calcolare, per qualunque valore di n, l'ennesimo numero di Fibonacci, Fn.

A meta del XIX secolo, il matematico francese Jacques Phillipe Marie Binet (1786-1856) riscoprì una formula che a quanto pare era già nota nel XVIII secolo al più prolifico matematico di ogni tempo, Eulero (1707-1783). La formula permette di calcolare qualunque numero di Fibonacci, purchè sia noto il suo posto nella successione. La formula di Binet si basa interamente sul rapporto aureo:

Il quadrato di un termine

Keplero (1571-1630), scoprì un'altra interessante proprietà della successione di Fibonacci: il quadrato di qualunque termine differisce di non più di un'unità dal prodotto dei due termini che gli stanno accanto nella successione. Per esempio, dato che l'inizio della successione è 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., constatiamo che il quadrato di 3 dififerisce di 1 dal prodotto dei numeri che gli sono a fianco, 2 e 5. (2 x 5 = 10). Allo stesso modo, 13, che si trova tra 8 e 21, ha per quadrate 169, mentre 21 X 8 è uguale a 168. E così via.

Relazione tra i numeri di Fibonacci e numeri primi

Ogni numero della serie di Fibonacci che sia anche numero primo, ha un indice nella serie anch'esso numero primo.

Ad esempio, il numero 233, è il tredicesimo termine della serie e 13 è un numero primo.

Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono a occupare posizioni che rendono massima l'esposizione al sole, alia pioggia e all'aria. Perciò, un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari. E' raro, però, che queste formazioni seguano schemi rettilinei, perchè in tal modo si priverebbero a vicenda della pioggia e della luce. La successione delle foglie e dei rami ha invece una componente rotatoria, che con l'avanzamento verso l'alto traccia intorno al fusto un'elica immaginaria. Schemi analoghi di unità ripetitive sono formati anche dalle squame delle pigne e dai semi del girasole. Il fenomeno ha il nome scientifico di fillotassi (dal greco, «disposizione delle foglie»), un sostantivo coniato nel 1754 dal naturalista svizzero Charles Bonnet (1720-1793). Per esempio, nei boschi di tigli le foglie si collocano in genere da due parti opposte (corrispondenti a un mezzo giro intorno al fusto), uno schema descritto come «quoziente di fillotassi l/2». In altre piante, come il nocciolo, il rovo e il faggio, il passaggio da una foglia all'altra comporta un terzo di giro («quoziente di fillotassi l/3»). Il melo, alcune querce e l'albicocco hanno foglie ogni due quinti di giro; il pero e il salice piangente ogni tre ottavi di giro. La figura illustra un caso in cui occorrono tre giri completi per passare attraverso otto rami (corrispondente a un «quoziente di fillotassi 3/8»). Tutte le frazioni citate sono rapporti di termini alternati della successione di Fibonacci.

La storia della vera fillotassi matematica (da non confondere con gli approcci puramente descrittivi) inizia però nel XIX secolo con gli studi del botanico Karl Friedrich Schimper (del 1830), di Alexander Braun (del 1835) e del cristallografo Auguste Bravais, insieme al fratello Louis, un botanico (del 1837). Questi studiosi scoprirono la regola generale secondo cui i quozienti di fillotassi si possono esprimere come quozienti dei numeri di Fibonacci (come nei casi già menzionati delle fillotassi 2/5 e 3/8) e notarono anche la comparsa di numeri di Fibonacci consecutivi nelle disposizioni a spirale delle squame dell'ananas e delle pigne d'abete.

L'ananas, in particolare, è un magnifico esempio di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci. Ognuna delle squame esagonali che rivestono questo frutto appartiene a tre diverse spirali. Nella figura è evidenziata una delle otto file parallele che salgono con gradualità da sinistra a destra, una delle tredici che salgono più rapidamente da destra a sinistra, e una delle ventuno file che salgono quasi verticali da sinistra a destra. La maggior parte degli ananas presentano sulla superficie 5,8, 13 o 21 spirali via via più ripide di squame. E tutti i numeri di spirali sono numeri di Fibonacci.

Come accade che le piante dispongono le foglie e altre loro parti secondo schemi basati su tali numeri? La crescita delle piante ha luogo in corrispondenza dell'apice del fusto, dove si trova un tessuto giovane atto all'accrescimento chiamato «meristema». L'apice vegetative ha una forma pressappoco conica, restringendosi verso la sommità. Quello che scopriamo (immaginando una linea curva che colleghi le foglie è che esse si succedono lungo una stretta spirale, chiamata «spirale vegetativa». L'importante dato quantitativo che caratterizza la disposizione delle foglie è l'angolo formato dalle linee rette che collegano il centro del fusto agli abbozzi delle foglie. Una delle scoperte dei fratelli Bravais nel 1837 fù che nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, e che quest'angolo (noto come angolo di divergenza) è di solito prossimo a 137,5°.

L'angolo maggiore risultante dalla divisione dell'angolo giro secondo il rapporto aureo misura 360°/Φ, ovvero 222,5°. Ciò significa che l'angolo minore in cui l'angolo giro è diviso misura 360°—222,5°, cioè 137,5° (ed è a volte chiamato «angolo aureo»).

In un pionieristico scritto del 1907, il matematico G. van Iterson ha dimostrato che, collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° lungo una spirale avvitata strettamente, l'occhio riceve l'impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l'una in senso orario e l'altra in senso antiorario. I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci, e infatti i rapporti tra questi numeri si avvicinano al rapporto aureo.

Simili spirali orarie e antiorarie trovano una delle realizzazioni più spettacolari nell'infiorescenza del girasole. Ammirando un girasole è facile notare, al centro dell'infiorescenza, l'insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità. E' chiaro che gli elementi dell'infiorescenza crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare al centro del fiore. Il numero di spirali dipende di solito dalle dimensioni del girasole. Nel caso più comune ci sono trentaquattro spirali avvolte in senso orario o antiorario, e cinquantacinque avvolte nel senso opposto, ma sono stati osservati girasoli con rapporti del numero di spirali di 89/55, 144/89 e perfino (almeno in un caso, riferito nel 1951 a «Scientific American» da una coppia del Vermont) di 233/144. Ancora una volta tutti i numeri citati sono termini (contigui, in questo caso) della successione di Fibonacci. Nei girasoli più grandi, si può constatare che dal centro alla periferia la configurazione si ingrandisce passando da una coppia di numeri contigui alla successiva.

Il legame di Jacques Bernoulli col rapporto aureo passa per un'altra celebre curva. Egli fu così colpito dalla bellezza della curva, che dedicò un trattato intitolato "Spira mirabilis" (la spirale meravigliosa) a un particolare tipo di curva avvolta su se stessa (il nome deriva dal modo in cui il raggio cresce ruotando in senso antiorario).

Una fondamentale proprietà della spirale logaritmica che si ritrova solo in questa particolare curva, è' che crescendo, non cambia forma. Questa proprietà è nota come «autosomiglianza». Stregato da questa proprieta, Jacques Bernoulli scrisse: «Si puo usarla come simbolo sia della forza e costanza nelle avversità, sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e perfino dopo la morte, è restituito al suo precise e perfetto Se». Questa è precisamente la proprietàa richiesta da molti fenomeni di accrescimento naturale.

Per esempio, il nautilo nella sua conchiglia aumenta in grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose, abbandonando e sigillando quelle inutilizzabili perchè troppo piccole. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, cosicchè la forma del guscio resta immutata. In tal modo il mollusco, pur ampliandola, trascorre in un certo sense tutta la vita nella stessa dimora e non ha bisogno, per esempio, di correggerne l'equilibrio col passare del tempo. Lo stesso principio vale per i montoni, le cui corna hanno la forma di una spirale logaritmica (anche se i tratti della spirale non giacciono tutti sullo stesso piano), e per le zanne dell'elefante.

Crescendo, per così dire, per accumulazione interna, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta man mano che ci si allontana dall'origine, detta «polo». In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante. Questo distingue la spirale logaritmica da un'altra spirale, detta «di Archimede» dal grande matematico di Siracusa (c. 287-212 a.C.) che l'ha discussa ampiamente nel trattato "Sulle spirali". Si può osservare la spirale di Archimede in un rotolo di tovaglioli, o in una corda che giace a terra avvolta su se stessa. In questo tipo di spirale, diversamente da quella logaritmica, la distanza tra i giri è sempre la stessa.

La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto quest'armoniosa figura come proprio ornamento favorito. La forma costante della spirale logaritmica in ogni scala di grandezza si mostra in tutto il suo enigmatico splendore nelle forme di minuscoli fossili od organismi unicellulari noti come «foraminiferi». Anche se in questo caso le conchiglie a spirale sono strutture composte (e non un condotto continuo), le immagini a raggi X della struttura interna di questi fossili mostrano che la forma della spirale logaritmica è rimasta sostanzialmente immutata per milioni di anni.

Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto. Nella serie di rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un quadrato a un rettangolo aureo è contenuta la spirale logaritmica. Se si congiungono i punti in cui questo «vortice di quadrati» divide i lati secondo il rapporto aureo, si ottiene infatti una spirale logaritmica che si sviluppa intorno al polo (corrispondente al punto di intersezione delle diagonali, che, come si è detto, fù scherzosamente chiamato «l'occhio di Dio»).

La spirale logaritmica si può ricavare anche da un triangolo aureo. Si è visto che partendo da questo triangolo (un triangolo isoscele in cui il rapporto di lunghezza tra i lati uguali e la base è pari a Φ e bisecando un angolo alla base si ottiene un triangolo aureo più piccolo. Continuando indefinitamente a bisecare gli angoli alla base si forma un «vortice» di triangoli sempre più piccoli, e collegando con una curva i vertici dei triangoli si ottiene una spirale logaritmica.

La spirale logaritmica e anche chiamata «spirale equian-gola», un nome coniato nel 1638 dal matematico e filosofo francese Cartesio (1596-1650). L'aggettivo «equiangola» rispecchia un'altra proprietà unica della spirale logaritmica: tracciando linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo.

I falconi usano questa proprietà durante la caccia. Il falco pellegrino è uno degli uccelli più veloci, essendo in grado di calare sulla preda a oltre 300 chilometri all'ora. Ma potrebbe raggiungere una velocità superiore seguendo una traiettoria rettilinea.

Il biologo Vance A. Tucker della Duke University in North Carolina si è chiesto per anni perchè il falco pellegrino non scelga la via più breve per raggiungere la preda, finchè ha intuito che la risposta andava cercata nel suo apparato visivo. Poichè gli occhi del falcone non guardano in avanti ma lateralmente, per trarre vantaggio dalla loro eccezionale acutezza l'uccello dovrebbe ruotare la testa di una quarantina di gradi in un senso o nell'altro; e con l'aiuto di una galleria del vento, Tucker ha dimostrato che tale assetto peggiorerebbe la sua aerodinamica, rallentandolo notevolmente. I risultati della ricerca di Tucker, dimostrano che il falcone tiene la testa diritta seguendo una spirale logaritmica; grazie alle proprietà equiangolari di detta spirale, l'uccello ha la possibilità di non perdere di vista la preda, e nel contempo di tenere la testa diritta massimizzando la velocità.

Ancor più stupefacente è che la spirale osservabile nei foraminiferi unicellulari, nei girasoli e nel volo del falcone si trovi in quei «sistemi di stelle riunite insieme su un piano comune, come quelle della Via Lattea». Queste formazioni, che sono state anche chiamate «universi-isola», sono gigantesche galassie formate da centinaia di miliardi di stelle come il nostro Sole. Studi efifettuati con l'Hubble Space Telescope hanno rivelato l'esistenza di un centinaio di miliardi di galassie nell'universo visibile, molte delle quali sono «galassie spirali».

Perchè tante galassie hanno questa forma? Galassie spirali come la nostra Via Lattea consistono in un disco relativamente sottile (simile a una frittella) composto da gas, polvere interstellare e stelle. L'intero disco galattico ruota intorno al centre galattico. In prossimita del Sole, per esempio, la velocità orbitale intorno al centro della Via Lattea è di oltre 220 chilometri al secondo; ciò nonostante, al materiale galattico occorrono 225 milioni di anni per completare una rivoluzione. Ad altre distanze dal centro la velocità è differente — maggiore vicino al centro, minore a distanze più grandi; in altre parole, i dischi delle galassie non ruotano come un solido compact disc, ma in modo differenziato. Viste di fronte, le galassie spirali hanno braccia arcuate che iniziano vicino al centro galattico e si protendono all'esterno attraversando gran parte del disco. Le braccia, ricche di stelle giovani, sono le parti del disco galattico in cui si formano nuove stelle.