dove a, b, c sono numeri interi qualsiasi.

Tali equazioni hanno ricevuto il nome di curve ellittiche perché in passato erano usate per misurare i perimetri delle ellissi e delle lunghezze delle orbite planetarie, ma per chiarezza mi riferirò ad esse semplicemente come equazioni ellittiche piuttosto che curve ellittiche.

L'obiettivo con le equazioni ellittiche, è di scoprire se hanno soluzioni in numeri interi e, in caso positivo, quante soluzioni. Per esempio, l'equazione ellittica

dove a = 0, b = 0, c = - 2

ha una sola soluzione con numeri interi e precisamente x=3 e y=5

ossia 25 = 27 - 2.

Ciò che rende particolarmente affascinanti le equazioni ellittiche è che esse occupano una curiosa nicchia fra equazioni più semplici, che sono quasi banali, ed equazioni più complicate, impossibili da risolvere. Con il semplice cambiamento dei valori di a, b e c nell'equazione ellittica generale i matematici possono generare un'infinita varietà di equazioni, ciascuna con le sue caratteristiche, ma tutte nella sfera di ciò che può essere risolto.

Le equazioni ellittiche furono studiate originariamente dagli antichi matematici greci, compreso Diofanto, che dedicò gran parte della sua Arithmetica a esplorare le loro proprietà. Probabilmente ispirato da Diofanto, Fermat riprese lo studio delle equazioni ellittiche e, siccome erano state studiate dal suo eroe, Wiles fu felice di indagarle ulteriormente. Persino dopo duemila anni le equazioni ellittiche presentano ancora problemi formidabili per studenti come Wiles all'epoca del suo dottorato: «Si è molto lontani dal comprenderle pienamente. Esistono molte domande apparentemente semplici che potrei porre sulle equazioni ellittiche alle quali non si è ancora trovato risposta. Persino domande che furono esaminate dallo stesso Fermat sono ancora irrisolte.

Nelle equazioni che Wiles studiò durante il dottorato, determinare l'esatto numero di soluzioni era così difficile che il solo modo di fare progressi era di semplificare il problema. Per esempio è quasi impossibile affrontare direttamente la seguente equazione ellittica:

Si tratta di scoprire quante soluzioni con numeri interi ha l'equazione. Una soluzione piuttosto banale è x = 0 e y = 0:

0³ - 0² = 0² + 0

Una soluzione appena un po' più interessante è x = 1 e y = 0:

1³ - 1² = 0² + 0

Possono esserci altre soluzioni ma, con un'infinità di numeri interi da esplorare, dare un elenco completo di soluzioni per questa equazione particolare è un compito impossibile. Un compito più semplice è cercare una soluzione in un ambito numerico finito, nella cosiddetta aritmetica dell'orologio.

In precedenza abbiamo visto che i numeri possono essere pensati come punti lungo la retta numerica che si estende all'infinito. Per rendere finito lo spazio dei numeri, l'aritmetica dell'orologio richiede di troncare la retta e di piegarla su se stessa fino a formare un anello numerico al posto della retta numerica. La figura mostra un orologio-5, nel quale la retta numerica è stata troncata al numero 5 e richiusa su se stessa allo 0. Il numero 5 svanisce e diventa equivalente a 0. Perciò i soli numeri nell'aritmetica dell'orologio-5 sono 0,1,2,3,4.

Nell'aritmetica normale possiamo pensare all'addizione come a uno spostamento lungo la retta di un certo numero di spazi. Per esempio 4 + 2 = 6 è lo stesso che dire: comincia al 4, spostati lungo la retta numerica di 2 spazi e arriva al 6. Invece nell'aritmetica dell'orologio-5:

4 + 2 = 1

Nell'aritmetica dell'orologio-5 la retta numerica è troncata al 5 e richiusa su se stessa. Il numero 5 coincide con lo 0 e perciò viene rimpiazzato da quest'ultimo.

Se infatti cominciamo dal 4 e ci spostiamo intorno di 2 spazi, arriviamo all'1. L'aritmetica dell'orologio potrebbe apparirci poco familiare, ma in realtà la usiamo ogni giorno quando parliamo del tempo. Quattro ore dopo le undici (vale a dire 11+4) vengono comunemente definite non le ore 15, ma le 3. Si tratta dell'aritmetica dell'orologio-12.

Siccome l'aritmetica dell'orologio tratta solo uno spazio numerico limitato, è relativamente facile scoprire tutte le possibili soluzioni a un'equazione ellittica per un'aritmetica dell'orologio di una certa dimensione. Per esempio, adoperando l'aritmetica dell'orologio-5 è possibile elencare tutte le soluzioni possibili all'equazione ellittica

Le soluzioni sono:

Anche se alcune di queste soluzioni non sarebbero valide nell'aritmetica normale, esse sono accettabili nell'aritmetica dell'orologio-5. Per esempio, la quarta soluzione (x = 1, y = 4) funziona così:

Ma ricordate che nell'aritmetica dell'orologio-5, 20 equivale a O perché 5 divide il 20 con un resto di 0. Siccome non era possibile elencare tutte le soluzioni di un'equazione ellittica operando su uno spazio infinito, i matematici, compreso Wiles, decisero di scoprire il numero di soluzioni in tutte le differenti aritmetiche dell'orologio. Per l'equazione ellittica sopra citata il numero di soluzioni nell'aritmetica dell'orologio-5 è quattro e perciò i matematici dicono E, = 4. Si può anche calcolare il numero di soluzioni in altre aritmetiche dell'orologio. Per esempio, nell'aritmetica dell'orologio-7 il numero di soluzioni è nove e perciò E7 = 9.

Per ricapitolare i risultati raggiunti, i matematici elencano il numero di soluzioni per ogni aritmetica dell'orologio e chiamano questo elenco la L-serie dell'equazione ellittica. Da tempo si è dimenticato il significato della L anche se alcuni hanno ipotizzato che la L sta per Gustav Lejeune-Dirichlet, che ha lavorato sulle equazioni ellittiche. Per chiarezza espositiva userò il termine E-serie, per riferirmi alla serie di soluzioni dell'equazione ellittica nei diversi tipi di aritmetica dell'orologio. Per l'esempio di equazione sopra citato la E-serie è la seguente:

Equazione ellittica:

E-serie:

Poiché i matematici non sanno dire quante soluzioni hanno alcune equazioni ellittiche nel normale spazio numerico che si estende fino all'infinito, la E-serie sembra essere la migliore risposta possibile al problema. Infatti la E-serie contiene una gran massa di informazioni sull'equazione ellittica da essa descritta. Allo stesso modo in cui il Dna trasporta tutte le informazioni necessarie per costruire un organismo vivente, la E-serie enuclea l'essenza dell'equazione ellittica. La speranza era che studiando la E-serie, questa sorta di Dna matematico, i matematici avrebbero potuto infine calcolare tutto ciò che desideravano conoscere su un'equazione ellittica.

Alcuni esempi di curve ellittiche sono i seguenti:

(Tratto da "L'ultimo teorema di Fermat" di Simon Singh - 1999 BUR Saggi)