E' stato Chtistian Goldbach ad attirare l'attenzione di Eulero sulle opere di Fermat in merito alla teoria dei numeri. Eulero, appassionandosi subito a questi problemi, diede una dimostrazione completa di varie proposizioni di Fermat, confermando che quest'ultimo aveva una visione straordinariamente lucida nel settore.
Appassionandosi sempre più all'opera di Fermat, Eulero si procurò i suoi studi e li esaminò con attenzione. Nel bel mezzo della dimostrazione che «nessun triangolo pitagorico ha come area un quadrato », scopri, sempre nel margine dell'Arithmetica di Diofanto, una dimostrazione della congettura per un valore di n pari a 4 : x4 + y4 = z4 non ammette come soluzione numeri interi. E quella fu l'unica volta in cui Fermat usò esplicitamente il metodo della « discesa infinita ».
Adottando quel celebre metodo, Eulero si mise subito al lavoro con l'intento di dimostrare la validità della congettura per n = 3, utilizzando non i numeri reali, ma i numeri complessi. Il 4 agosto 1753 annunciò di essere riuscito a dimostrare: « Un cubo in numeri interi non può essere la somma di due cubi ».
La dimostrazione di Eulero conteneva un errore. Il metodo, invece, era perfettamente corretto e fu usato in seguito con grande successo.
Cominciava l'epopea della congettura.
È sufficiente dimostrare la congettura per i soli valori primi dell'esponente n, il che permette di sgomberare il terreno, togliendo di mezzo tutti i numeri che non sono primi.
Le generazioni successive di matematici che si dedicano a una congettura l'affrontano in maniera graduale; la « rosicchiano » un po' alla volta, per così dire. Non riuscendo di primo acchito a dimostrarla in tutta la sua generalità, preferiscono distinguere casi particolari in cui è possibile ugualmente raggiungere una soluzione. E visto che una cosa tira l'altra, chissà...
L'avvio fu estremamente lento. Passò un secolo intero e la lenta erosione continuò. Adrien-Marie Legendre dimostrò la validità della congettura per n = 5 e un certo Gabriel Lamé per n = 7, mentre Peter Gustav Lejeune-Dirichlet la dimostrava per n = 14.
Nel 1820 una giovane donna, Sophie Germain, che aveva pubblicato alcuni scritti sotto il nome di « signor Le Blanc », fu la prima a fornire un risultato generale che non si basava su un valore specifico dell'esponente, bensì su un'intera categoria di numeri primi di una certa forma.
Il primo marzo 1847, l'Accademia delle Scienze assistette a una seduta drammatica. Due uomini si affrontarono, ribattendo colpo su colpo: Gabriel Lamé e Augustin Cauchy, uno dei grandi matematici del XIX secolo, presentarono ciascuno una busta sigillata contenente la dimostrazione completa della congettura di Fermat.
Passò un mese. Alla seduta successiva, si attendeva Lamé, si attendeva Cauchy: invece fu Ernst Kummer, un matematico tedesco, a dimostrare, in una lettera inviata all'Accademia, che entrambi gli studiosi avevano attribuito ai numeri complessi una proprietà dei numeri reali. Dunque le loro dimostrazioni erano errate; avevano commesso lo stesso errore di Eulero, un secolo prima.
Quasi nello stesso tempo, Kummer, basandosi sulle proprietà dei numeri che aveva definito « ideali », dimostrò la validità della congettura per tutti i numeri primi inferiori a cento. Poi, nella seconda metà del nostro secolo, si è assistito a una brusca accelerazione. Grazie ai computer, la congettura è stata dimostrata per decine di migliaia, e poi per centinaia di migliaia di numeri; ma sempre per un numero finito di valori. Infine, negli anni '80, sono stati presentati alcuni risultati importanti.
Nell'arco di tre secoli, si è passati da 1 a 2, a 3, a 4, a 100, a molti, a quasi tutti: ma la congettura sarà dimostrata soltanto quando si arriverà a tutti.
Eulero aveva dato una dimostrazione completa di varie proposizioni di Fermat, confermando che quest'ultimo aveva una visione chiara di ciò che era vero nel campo della teoria dei numeri. Ed è vero, salvo che in un'occasione...
Nel 1640, Fermat scrisse all'amico Frénicle: « Sono convinto che il numero 2n + 1, dove n è una potenza di 2, sia sempre primo. Non ne ho la dimostrazione esatta, ma ho escluso una così gran quantità di divisori grazie a dimostrazioni infallibili, e ho sì grandi lumi a confortare il mio pensiero, che stenterei a ricredermi ». Poco tempo dopo, per rincarare la dose, scrisse a Pascal: « È una proposizione della cui verità mi rendo garante nei suoi confronti».
Nel 1732, Eulero dimostrò che il quinto numero di Fermat, vale a dire 232 + 1, che è uguale a ... 4.294.967.297, era divisibile per 641, e quindi non era un numero primo. La seconda congettura di Fermat era falsa! Dunque Fermat si era sbagliato almeno una volta. Perché non due? Per quale motivo la prima congettura doveva essere esatta?
Agli albori del XIX secolo, tutti gli interrogativi lasciati in sospeso da Fermat, tutte le congetture che erano state formulate o di cui non era stata completata la soluzione erano stati risolti: tutti, tranne uno. Restava inviolata soltanto la congettura del 1637 sulle somme di potenze. Si decise allora di chiamarlo l'« ultimo teorema di Fermat ». In quella definizione era implicita una buona dose d'ironia, dal momento che non si trattava di un teorema: anzi, era proprio quello il problema. Quella congettura sarebbe diventala un teorema una volta dimostrata... ammesso che lo fosse.
Più il problema resisteva agli sforzi, più diventava celebre. Nel 1816, l'Accademia decise di creare un premio per ricompensare chi fosse riuscito a risolverlo. Quarant'anni dopo, nessuno era ancora rìuscilo nell'impresa, e l'Accademia istituì un altro premio, stavolla accompagnalo da una medaglia d'oro e dalla discrela somma di tremila franchi: queslo premio fu assegnalo a Ernst Kummer.
« Contrariamente a Galois, Abel e Gauss, Kummer non si era dedicato alla matematica in giovane età. Quando era bambino, l'Europa era devastata dalle campagne napoleoniche. Le truppe francesi occuparono la sua città, scatenando un'epidemia di peste, o di tifo, non so bene. Il padre di Kummer, che era medico, salvò decine di malati, ma finì per soccombere anche lui all'epidemia. Allora il giovane Ernst decise di entrare nell'esercito per potersi opporre a ogni nuova invasione della sua cillà. Seguendo le orme di Tartaglia, Galileo e Newton, cominciò a studiare la traiettoria delle palle di cannone, diventando uno dei migliori esperti di balistica in Europa. »
Kummer ricevette il premio dell'Accademia, che era una bazzecola in confromo a quello offerto dal richissimo tedesco, Paul Wolfskehl, che lo istituì alla vigilia della prima guerra mondiale. Il premio di Wolfskehl, però, era legato a una condizione: la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, doveva essere presentata prima del 13 settembre dell'anno 2007.
Il giovane Paul Wolfskehl era molto ricco e molto sfortunato, perché amava una donna che non lo ricambiava.
L'amore infelice di Galois è stato la causa del duello nel quale ha trovato la morte. L'amore infelice di Paul Wolfskehl lo ha indotto a prendere una decisione terribile, quella di suicidarsi. Dopo aver fissato la data, scelse anche l'ora: Paul avrebbe messo fine ai suoi giorni al termine del giorno prestabilito e si sarebbe sparato un colpo in testa poco prima di mezzanotte.
Giunse l'ultima sera. Paul era un uomo metodico, quindi sistemò i suoi affari, regolando i conti che doveva regolare, poi redasse il proprio testamento. Quando ebbe finito, si accorse che mancava un paio d'ore a mezzanotte. Osservò a lungo la pistola posata sul secretaire e si diresse verso la biblioteca. Era un discreto studioso di matematica e pensò che, negli ultimi istanti di vita, quella fosse l'unica lettura capace di attrarlo e nel contempo riconciliarlo con se stesso. Consultò varie opere e si soffermò sul testo del compatriota Ernst Kummer che riguardava l'ultimo teorema di Fermat, quello in cui dimostrava l'errore di Cauchy e Lamé. S'immerse nella lettura del testo. D'un tratto il suo cuore diede un sussulto: c'era un errore! Lanciò un'occhiata all'orologio a pendolo, gli restava ancora un po' di tempo, quanto bastava per dimostrare che Kummer si era sbagliato. Se almeno, nell'ultima ora di vita che gli restava, fosse riuscito a provare la presenza di un errore nell'opera di un cosi grande matematico, che bella fine sarebbe stata, la sua! Sedendosi allo scrittoio, si mise al lavoro, ripercorrendo una riga dopo l'altra il testo di Kummer. Una volta arrivato all'ultima, dovette arrendersi all'evidenza: il lavoro di Kummer era assolutamente corretto. Non c'era il minimo errore. Deluso e sfinito, Paul si massaggiò le terapie, alzando gli occhi dai fogli che aveva riempito di calcoli per dimostrare la sua tesi. Era l'alba: mezzanotte era passata e lui era vivo. Chiuse il testo di Kummer, piegò i fogli, ripose la pistola, strappò il testamento e dimenticò la fanciulla. Gli avvenimenti avevano trovato la soluzione: la resurrezione grazie alla dimostrazione. Aveva un debito con Fermat e il suo ultimo teorema, e decise d'istituire un premio per compensare chi fosse riuscito a risolvere quel problema che gli aveva salvato la vita. La data che Paul Wolfskehl aveva scelto per suicidarsi era il 13 settembre del 1907.»
La congettura di Eulero
Estrapolando la congettura di Fermat: la somma di due potenze ennesime di un intero non può essere la potenza ennesima di un intero: xn + yn = zn, Eulero aveva formulato una congettura più modesta, mettendo in gioco non tre, ma quattro numeri, e limitandola alla quarta potenza: « La somma di tre biquadrati non può essere un biquadrato », il che, espresso in termini attuali, equivale a dire: x4 + y4 + z4 = w4 non ammette come soluzioni numeri interi.
La congettura resiste un secolo, poi due. Ed ecco che il matematico Noam Elkies - ormai siamo nel 1988 - estrae dal cappello a cilindro quattro numeri che contraddicono l'affermazione di Eulero.
2.682.4404 + 65.6394 + 18.796.7604 = 20.61 S.6734.
La congettura di Eulero è falsa.
Il prodigioso matematico di Basilea, l'uomo al quale erano consacrate otto pagine di dizionario, l'uomo che aveva scritto settantacinque volumi e quattromila lettere, l'uomo dalla memoria incredibile, aveva formulato una congettura falsa!
(Tratto da "Il teorema del Pappagallo - Denis Guedj - 2003 TEA)
Le congetture famose