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Niels Henrik Abel
Questa è la storia di uno straordinario genio della matematica, il norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), vissuto agli inizi del 1800, che visse un'esistenza sfortunata ed incompresa, troppo avanti le sue intuizioni e scoperte per essere comprese dai contemporanei. Morì, sfortunatamente, giovanissimo.
Niels Henrik Abel nacque il 5 agosto 1802, secondogenito di Soren Georg Abel, un pastore luterano, e di sua moglie Anne Marie Simonsen, la figlia di un mercante. Le notevoli differenze fra un uomo che discendeva da una famiglia di religiosi e una donna incredibilmente bella conosciuta per la sua passione per i piaceri terreni non erano il presupposto ideale per un matrimonio Felice. Prima che Niels Henrik compisse due anni, Soren Georg Abel assunse la carica di ministro nel villaggio di Gjerstad, andando a sostituire il padre (il nonno del future matematico). In quegli anni la Norvegia, che faceva parte della Danimarca, dovette fare i conti con diversi conflitti: prima contro la flotta inglese (via mare) e poi contro la Svezia (via terra). Il blocco delle rotte commerciali norvegesi a opera delle navi da guerra inglesi ebbe conseguenze devastanti. Tutte le esportazioni di legname furono interrotte gia a meta del 1808. Allo stesso modo, il commercio di grano dalla Danimarca era diventato così pericoloso da subire anch'esso una drastica riduzione. Nel 1809 la malnutrizione e la fame si difrusero in tutta la Norvegia. Padre Abel riuscì a malapena a combattere la carestia nella sua parrocchia convincendo i fedeli a mangiare carne di cavallo, in precedenza proibita.
Fino ai tredici anni, Niels Henrik fu istruito dal padre, nella canonica. Quest'ultimo prese molto seriamente il suo compito, tanto da scrivere a mano il libro di testo per i propri figli, che includeva grammatica, geografia, storia e matematica.
Nel 1815 Niels Henrik fù mandato alla Scuola Cattedrale di Christiania (oggi Oslo). La famiglia si stava ormai sgretolando. Entrambi i genitori erano sempre più dediti all'alcol. La madre aveva un atteggiamento piuttosto lascivo che la portava a concedere un numero crescente di favori sessuali, probabilmente sentendosi più libera dopo la partenza del figlio. Quando Niels Henrik vi fu ammesso, la Scuola Cattedrale stava attraversando un periodo piuttosto buio. In questa istituzione erano infatti rimasti solo i professori meno qualificati dopo che, qualche anno prima, era stata inaugurata l'Universita di Christiania, dove si trasferirono i docenti migliori. L'insegnante di matematica, Bernt Michael Holmboe (1795-1850), laureato alla stessa Scuola Cattedrale e di soli sette anni più vecchio di introdusse un nuovo programma di studio che aveva lo scopo di far comprendere a fondo i simboli matematici agli allievi. Holmboe non impiegò molto tempo per scoprire che nella sua classe c'era un genio. Esaurito il normale programma di studio, Abel iniziò, spronato dall'entusiasmo del suo professore, a dedicarsi alle opere originali di Eulero, Newton, Laplace, Gauss e, in particolare, Lagrange. Holmboe non poteva trattenersi dall'esprimere la propria ammirazione. Nella pagella del 1819 il docente scrisse: «Uno straordinario genio della matematica». L'anno successive si spinse ancora oltre e il suo giudizio abbracciò anche tutte le altre materie: «Al suo incredibile genio associa un interesse insaziabile e un ardore per la matematica che, se vivrà, lo faranno con ogni probabilità diventare uno dei più importanti matematici*. Anche se, sottolineando l'ultima frase, alcune parole vennero cancellate, è ancora possibile leggere le parole originarie, ovvero «il più importante matematico del mondo». Molto probabilmente il comitato scolastico insistette affinchè Holmboe smorzasse in qualche modo le sue lodi. E le parole «se vivrà» si riveleranno tragicamente profetiche.
Un genio alia ricerca del successo
Durante l'ultimo anno scolastico Abel fece il suo primo tentativo di spiccare il volo. E che tentativo! Con la faccia tosta tipica dei ragazzi che si avventurano per la prima volta in un territorio sconosciuto, Niels Henrik provo a risolvere un'equazione di quinto grado. Si trattava di un problema che i migliori matematici di tutta Europa cercavano di risolvere da quasi tre secoli. E adesso uno studente delle superiori sosteneva di esserci riuscito. Abel mostrò la soluzione a Holmboe, il quale la giudico perfetta e presento il risultato a due docenti dell'Universita di Christiania, Christopher Hansteen e Soren Rasmussen, che a loro volta non trovarono errori. Comprendendo la portata della scoperta, Hansteen decise di inviare il lavoro al più importante matematico scandinavo del tempo, Ferdinand Degen di Copenhagen, affinchè l'Accademia Danese lo pubblicasse. Il famoso studioso era una persona pragmatica e preferì eccedere nella prudenza. Così, anche se non notò errori, chiese ad Abel di spedirgli una «deduzione più dettagliata del risultato e anche una illustrazione numerica» del metodo, trovando ad esempio la soluzione dell'equazione x5 + 2x4 + 3x2 - 4x + 5 = 0. Dopotutto, le probabilità a priori che un allievo della Scuola Cattedrale fosse in grado di risolvere uno dei problemi matematici più famosi non erano molto alte. Mentre cercava di individuare esempi specifici, Abel scoprì con grande costernazione che la sua soluzione non era di fatto quella corretta.
Lungi dal costituire la fine della sua ricerca, questa battuta di arresto si rivelò al contrario un notevole passo in avanti. In ogni caso, Degen fu molto colpito e diede un consiglio a Niels Henrik. Secondo il famoso matematico, lo studio delle equazioni era un «soggetto sterile» e suggerì di concentrarsi invece su un campo allora pressochè sconosciuto, ovvero sugli integrali ellittici (tipi particolari di entità matematiche, così chiamate perchè possono essere usate per calcolare la lunghezza dell'arco di un'ellisse).
Se il genio matematico di Abel stava cominciando a brillare, la situazione familiare si faceva invece sempre più cupa. Gli anni compresi tra il 1818 e il 1820 furono particolarmente duri per Niels Henrik. Il 10 dicembre 1817 Soren Georg riuscìi a essere eletto allo Storting (parlamento), ma questo evento apparentemente prestigioso si trasformò nel disastro piu completo. In un primo momento, l'energico uomo di Chiesa presentò alcuni ottimi progetti di legge riguardanti il campo dell'istruzione. In particolare, padre Abel ebbe un ruolo determinante nella creazione della facoltà di veterinaria. Tuttavia, forse a causa di una valutazione pregiudicata dagli effetti dell'alcol o per eccessiva ambizione personale, egli fu spinto a commettere l'equivalente di un suicidio politico. Durante la disastrosa seduta del 2 aprile 1818, il religioso accuse due rappresentanti di aver a torto imprigionato una ex guardia di una ferriera. Le imputazioni si rivelarono infondate, ma questo evento segno l'inizio della caduta di Soren Georg. L'opinione pubblica e i politici si scagliarono con furore contro l'accusatore, minacciando di metterlo in stato di accusa. Al padre del future genio della matematica fa concessa l'ultima possibilità di ritirare le sue accuse, ma egli testardamente rifiutò. Nell'autunno del 1818 il disilluso pastore ritorno a Gjerstad coperto dall'infamia. Il religioso aveva ormai sempre più la tendenza ad affogare i propri problemi nell'alcol. Questo comportamento non fece altro che peggiorare rapidamente il suo stato di salute. Alla sua morte (1820), nessun abitante di Gjerstad espresse il proprio dolore. Stando alle dicerie, la sconsiderata vedova riceveva a letto le persone giunte a portarle le proprie condoglianze, mentre il suo domestico le offriva servizi che andavano ben oltre le semplici faccende domestiche.
Anne Marie e i cinque fratelli di Niels Henrik ricevevano una pensione estremamente ridotta, del tutto insufficiente a soddisfare i loro bisogni. Per questo motivo la questione del denaro necessario al future matematico per proseguire i propri studi non poteva nemmeno essere sollevata. Tuttavia, per circostanze che avevano quasi del miracoloso, Abel riuscì a entrare all'universita nel 1821. In un ambiente in cui i contatti personali tra studenti e professori erano di norma scoraggiati e in cui questi ultimi tenevano un comportamento freddo e distaccato, ben tre docenti si offrirono volontariamente di sostenere il ragazzo dal punto di vista economico, seppure anch'essi non avessero molto denaro a disposizione. Fino al 1824, quando ricevette un sussidio, Niels Henrik visse di questa generosità. Durante i primi anni di università, lo studente era spesso il gradito ospite del professor Christopher Hansteen. E fù proprio sul periodico fondato da quest'ultimo che Abel pubblicò il suo primo saggio di carattere matematico nel 1823. L'articolo non presentava contributi particolarmente originali, ne tanto meno era comprensibile alla maggior parte dei lettori (e neppure il secondo scritto lo era). Il terzo studio, intitolato Soluzione di una coppia di proposizioni per mezzo di integrali definiti era invece dedicate a quella che in seguito sarebbe diventata la matematica di base della radiologia moderna (grazie a cui il fisico Allan Cormack e l'ingegnere elettronico Godfrey Hounsfield ricevettero il Premio Nobel per la medicina nel 1979).
Nel frattempo, i professori Hansteen e Rasmussen continuavano senza sosta a cercare un modo per sostenere il lavoro di Abel e per permettergli, in particolare, di viaggiare all'estero e di allargare così i propri orizzonti. Quando, a questo proposito, una richiesta al collegio accademico andò smarrita nei meandri della burocrazia universitaria, Rasmussen decise di donare personalmente a Niels Henrik la somma necessaria per consentirgli di andare in Danimarca a incontrare Degen e altri matematici locali. Contro ogni probabilità, nel 1823 il giovane riuscì a trascorrere le vacanze estive a Copenhagen. Quì, egli scoprì che «gli uomini di scienza vedono la Norvegia come una terra di barbari» e fece tutto quanto in suo potere per «convincerli del contrario». Ma il viaggio a Copenhagen ebbe un altro, inaspettato risvolto. Fu infatti nella capitale danese che Niels Henrik incontrò la sua futura fidanzata, Christine («Crelly») Kemp. 5
Tutta la loro relazione è avvolta dal mistero. Dopo aver trascorso il Natale del 1824 insieme a lei, lo studioso stupì tutti gli amici all'università annunciando di essere fidanzato e prossimo alle nozze; in precedenza non aveva avuto quelle esperienze sessuali piuttosto tipiche per gli studenti della capitale. Il fidanzamento permise al ragazzo di non fornire ulteriori spiegazioni quando veniva sollevato l'argomento donne. Niels Henrik non sposò mai la sua Christine. A quel tempo era infatti impensabile che si convolasse a nozze prima di avere i mezzi per sostenere la nuova famiglia. Sfortunatamente, il matematico non raggiunse mai questa posizione. Appena cinque anni dopo il fidanzamento Abel era sul letto di morte e, sopraffatto dal rimorso e dalle responsabilità, pare abbia chiesto al suo buon amico Baltazar Mathias Keilhau di prendersi cura di Crelly. Niels Henrik avrebbe detto: «Non e bella, ha i capelli rossi e le lentiggini, ma e un essere umano stupendo». Keilhau, che fino a quel momento non aveva mai visto Christine, la sposo nel 1830 e i due vissero insieme per il resto della loro vita.
Le equazioni di quinto grado
Fin dai primi infruttuosi tentativi di risolverle mediante una formula, le equazioni di quinto grado non abbandonarono mai la mente di Abel. Anche se il giovane non ignorò il consiglio di Degen di dedicarsi allo studio di altri campi della matematica, l'ossessione per questo tipo di calcoli non venne mai meno. Dopo il suo ritorno da Copenhagen, Niels Henrik decise quindi di ritornare sull'argomento a mente fresca. Invece di affrontare di nuovo il problema con l'obiettivo di scoprirne la soluzione, il ragazzo era ora determinato a mostrare che non esisteva una formula in grado di risolvere queste equazioni. La stessa affermazione era già stata fatta da Ruffini dopo una serie di calcoli compiuti tra il 1799 e il 1813, ma la dimostrazione del processo che aveva portato a quel risultato presentava una grave lacuna. La scoperta del grande matematico italiano non era stata ampiamente divulgata e quindi Abel ne era del tutto all'oscuro nel 1823. Dopo alcuni mesi di intenso lavoro, lo studente appena ventunenne proveniente dalla lontana Norvegia scrisse la parola fine a uno studio durato secoli. Egli riuscì infatti a dimostrare in maniera rigorosa e univoca che è impossibile trovare una soluzione per un'equazione di quinto grado applicando una formula esprimibile sotto forma di coefficienti (in cui compaiono cioè solo le quattro operazioni aritmetiche e l'estrazione di radice).
Niels Henrik provò che, nel caso di un'espressione algebrica di quinto grado o superiore generica, non è possibile ripetere quanto trovato per quelle di secondo, terzo e quarto. In altre parole, non esiste una soluzione per le equazioni di quinto grado esprimibile sotto forma di una formula algebrica che coinvolga solamente i coefficienti. La dimostrazione di Abel non implica comunque che le espressioni di quinto grado non possano essere risolte. Ad esempio, x5 - 243 = 0 ha ovviamente come soluzione x = 3 perche 35 = 243. Inoltre, anche una generica equazione di questo tipo può essere risolta numericamente, utilizzando un computer o introducendo strumenti matematici più avanzati come le funzioni ellittiche. Quello che Abel scoprì fu un fondamentale punto debole dell'algebra di base. Le note operazioni basilari di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radice raggiungono il loro limite quando si tratta di risolvere un'espressione di quinto grado. Questa consapevolezza costituì una vera e propria svolta nella storia della matematica e cambiò l'intero approccio alle equazioni. Non si trattava più di trovare semplicemente una soluzione, ma di provare se il risultato di un certo gruppo sia applicabile a tutti gli altri.
La dimostrazione di Abel ha il solo difetto di essere troppo tecnica per essere riprodotta in questa sede. Lo studioso norvegese applicò il procedimento logico conosciuto con il nome di "reductio ad absurdum". Questo metodo si basa sull'idea che è possibile dimostrare una proposizione provando la falsità della sua contraddizione. In altre parole, Niels Henrik suppose che un'equazione di quinto grado sia risolvibile e mostrò come questa ipotesi porti a una contraddizione logica.
Abel era ben consapevole della portata della sua scoperta. A differenza dei saggi precedenti elaborati in norvegese, inaccessibili ai più, Niels Henrik scelse di scrivere la prova dell'impossibilità di risolvere un'equazione di quinto grado in francese, sperando così di riuscire a focalizzare l'attenzione dei principali matematici del tempo. Egli decise inoltre di utilizzare la dimostrazione come «biglietto da visita» pensando che «potesse essere la migliore presentazione possibile». Per raggiungere il proprio obiettivo, lo studioso pagò di tasca propria lo stampatore Grondahl (probabilmente rinunciando a diversi pasti) per far pubblicare lo scritto sotto forma di pamphlet. Per riuscire a ridurre i costi, egli fù tuttavia costretto a condensare l'articolo "Memoire sur les equations algebriques oil on demontre l'impossibilité de la resolution de l'equation generale du cinquieme degre" (Saggio sulle espressioni algebriche in cui viene dimostrata l'impossibilità di risolvere una generica equazione di quinto grado) in una pubblicazione di sei pagine, che risultarono del tutto insufficienti. Il risparmio sulle spese di stampa, si rivelò però costoso in altri termini. Infatti, questa versione estrema mente sintetica era così poco chiara anche alla maggior parte degli esperti che non riscosse molto successo, sebbene Niels Henrik ne inviasse copie agli amici di Copenhagen e al famoso Carl Friedrich Gauss. Pare addirittura che il grande matematico tedesco non si degnò nemmeno di aprire il pamphlet di Abel e che questo venne ritrovato ancora sigillato tra varie altre carte dopo la sua morte. Una delle sue più importanti scoperte matematiche non potè conquistare il favore del pubblico.
Più o meno nello stesso periodo, gli «angeli custodi» di Niels Henrik, i professori Hansteen e Rasmussen, arrivarono alla conclusione che, per veder realizzate tutte le potenzialità del ragazzo, avrebbero dovuto sostenerlo con ben maggiore larghezza di quella consentita dai loro miseri mezzi. Nel 1824 i due presentarono dunque domanda al governo norvegese per una borsa di studio che permettesse ad Abel di fare un soggiorno all'estero. Dopo i normali ritardi burocratici, il ministero delle Finanze approvò alla fine una modesta borsa di studio per Niels Henrik. Si trattava di un notevole risultato, considerata la disastrosa situazione finanziaria in cui versava il Paese a quell'epoca. L'accettazione prevedeva però due importanti modifiche alla domanda originaria. In primo luogo, veniva richiesto che il giovane matematico rimanesse in patria per altri diciotto mesi per «incrementare la sua istruzione scientifica e accademica, in particolare delle lingue straniere apprese fino a quel momento» in modo da avere una preparazione sufficiente per poter affrontare il viaggio. In secondo luogo, Abel non avrebbe ricevuto denaro dopo il suo ritorno in Norvegia. Quest'ultimo punto avrebbe avuto conseguenze drammatiche.
L'esperienza europea
Nel settembre del 1825, Abel prese congedo da Crelly, e partì alla volta del continente accompagnato da tre amici. In un primo momento, su consiglio di Hansteen, Niels Henrik programmò di soggiornare a Parigi, dopo una breve sosta a Copenhagen. Ma quando i suoi compagni di viaggio decisero di partire per Berlino, il terrore di rimanere da solo nella capitale francese convinse il giovane a unirsi al resto del gruppo. Questa volta, però, la sua paura della solitudine ebbe un risvolto positivo. Nella città tedesca Abel incontrò infatti un influente ingegnere edile August Leopold Crelle (1780-1855) con una grande passione per la matematica che in seguito sarebbe diventato il suo più grande ammiratore, un amico fraterno e un benefattore.
Dopo questo prirno incontro, Crelle fondo una rivista di matematica conosciuta con il nome di «Crelles Journal» (Rivista di Crelle), anche se il titolo complete umciale era (Journal fur die reine und an-gewandte Mathematik» (Rivista di matematica pura e applicata). Si trattava della prima pubblicazione tedesca del XIX secolo dedicata a questo argomento. Nel primo numero uscito nel 1826 vi erano ben sei saggi di Abel (scritti in francese e tradotti dallo stesso Crelle). Uno di quest! era un'argomentazione piu dettagliata ed elaborata della prova dell'irresolubilità delle equazioni di quinto grado con una semplice formula. In apparenza, Niels Henrik non era ancora al corrente del lavoro di Ruffini all'inizio del 1826, ma con ogni probabilita lo scopri piu o meno nell'estate dello stesso anno, quando ricevette un compendio delle idee del grande matematico italiano redatto da un autore anonimo. In un manoscritto del 1828 pubblicato postumo, Abel osservo: «Il primo e, se non vado errato, l'unico che prima di me riusci a dimostrare l'impossibility di risolvere le equazioni algebriche fu Ruffini. Ma la sua biografia e talmente complicata da rendere difficile valutare la validita delle sue argomentazioni. Mi pare che il suo ragionamento non sia sempre soddisfacente». In questo periodo di intensi studi scientifici, la situazione economica di Abel era piuttosto critica. Con i suoi esigui mezzi il ragazzo aiutava anche la famiglia.
Una questione piu seria stava per far sprofondare le aspettative e le speranze di Abel nell'abisso. Il professor Rasmussen non era piu in grado di conciliare le responsabilita di insegnante e i doveri pubblici e decise quindi di rassegnare le dimissioni dalfuniversita e accettare un posto alia Banca Norvegese. Questo evento inaspettato poteva essere un'occasione d'oro per il giovane, che vedeva nella possibility, di intraprendere la camera universitaria la realizzazione del sogno di una vita. C'erano due potenziali candidati alia posizione lasciata libera da Rasmussen: Holmboe, l'ex insegnante di Abel, e Niels Henrik stesso. Quando la notizia del posto vacante raggiunse il gruppo di giovani viaggiatori a Berlino, uno di loro, l'aspirante veterinario Christian Peter Boek, scrisse rapidamente a Hansteen: Mio cugino Johan Collett mi ha scritto dell'incarico offerto a Rasmussen dalla Banca Norvegese. Chi ne prendera il posto? C'e qualche speranza che Abel lo possa ottenere al suo ritorno? O forse Holmboe ha più possibilità del mio giovane amico? Anche se il primo sembrerebbe la scelta migliore, non sarebbe giusto affidare a lui l'incarico perchè con ogni probabilità Abel e molto superiore a Holmboe.
La lettera fu scritta il 25 ottobre 1825. La facolta si riunì il 16 dicembre per discutere e approvare la raccomandazione per la nuova nomina. I membri chiamati a decidere caldeggiarono la candidatura di Holmboe. Il motive principale per cui venne preferito il professore all'ex studente fu che quest'ultimo non era «in grado di comprendere gli studenti giovani come invece puo fare un insegnante con una maggiore esperienza. Questo gli impedirebbe di presentare proficuamente gli elementi fondamentali della matematica, come invece ci aspettiamo da chi andra a ricoprire la posizione sopra citata». Questo tipo di contrasto tra attitudine all'insegnamento e talento nella ricerca come requisiti fondamentali per un incarico non e cosl insolito anche ai giorni nostri. Di fatto, in base alia mia esperienza personale (essendo stato membro di decine di commissioni scientifiche), posso dire che discussioni simili continuano ancora oggi a caratterizzare le nomine universitarie. Tuttavia, in questo caso uno dei due candidati era di gran lunga superiore all'altro e quindi non e sbagliato afFermare che i poco lungimiranti professori chiamati a scegliere tra i due commisero un grave errore.
Anche se le sue speranze erano state completamente polverizzate e cominciavano ad affiorare dubbi su un future quanto mai incerto, con il suo buon cuore Abel fece ogni sforzo possibile per conservare l'amicizia di Holmboe. Nonostante queste circostanze sfavorevoli, l'inverno passato a Berlino si rivelo uno dei momenti più felici e produttivi della vita di Abel. In questo periodo il matematico scrisse una serie di saggi autorevoli sul calcolo degli integrali e sulla teoria della somma di varie serie infinite. I giovani scienziati non perdevano l'occasione di andare a teatro, la passione di Niels Henrik, ed erano di tanto in tanto invitati a balli oppure organizzavano essi stessi dei ricevimenti. Con l'avvicinarsi della primavera, Abel inizio a. programmare il viaggio verso la sua meta originaria: Parigi. Ma il pensiero di doversi separare dagli amici fu ancora una volta un deterrente cosi forte da fargli infine optare per una tappa a Freiberg con Keilhau. Successivamente insieme ad altri due amici visito Dresda, la Boemia, Vienna, l'Italia settentrionale e la Svizzera, raggiungendo la capitale francese solo nelluglio del 1826.
Parigi
Chiunque vi sia giunto in luglio»o in agosto sa come appare questa città. Come ben presto scoprì anche Abel, tutti erano in villeggiatura lontano dalla metropoli. Eppure, Parigi era la capitale indiscussa della matematica e Niels Henrik attendeva con ansia l'occasione di incontrare i famosi studiosi che venerava da tempo. Dopotutto, erano proprio i lavori di Cauchy, Laplace e Legendre che il giovane leggeva prima di addormentarsi. Nella prima lettera a Hansteen traspare tutto 'entusiasmo di Abel: «Sono finalmente arrivato al cuore di tutti i miei desideri matematici: Parigi». A quell'epoca Niels Henrik non sapeva ancora che la visita nella capitale francese gli avrebbe portato solo delusioni e insoddisfazioni.
Durante i primi mesi a Parigi Abel lavorò senza sosta a quello che si rivelò un vero e proprio tour de force, ora conosciuto con il nome di teorema di Abel. Esso non era direttamente correlate alia teoria delle equazioni di quinto grado o dei gruppi, ma ebbe un ruolo fondamentale nella vita dello sfortunato matematico, tanto che nessuna biografia puo dirsi completa se non affronta anche questo argomento. Il teorema di Abel affrontava una classe particolare di funzioni note con il nome di fimzioni trascendenti e diede larga diffusione a una relazione ottenuta gia in precedenza da Eulero. Non e esagerato dire. che esso letteralmente spalanco nuove prospettive al mondo della matematica. La chiarezza e l'intrinseca semplicita della dimostrazione di Niels Henrik fu paragonata a quella delle statue classiche dello scultore greco Fidia. In particolare, I'originalita del giovane norvegese si rivelava nella sua capacita di capovolgere totalmente i problemi. Per comprendere meglio questo tipo di logica dell'inversione, riporto alcuni esempi di natura non matematica.
Ipotizziamo che uno dei motivi per cui le armi da fuoco sono cosi comuni in alcune citta dell'interno degli Stati Uniti sia che il numero degli omicidi e molto alto e quindi la gente compra pistole per proteggersi. Si potrebbe rovesciare questo problema e affermare che una delle ragioni per i frequenti omicidi e la disponibilità illimitata di armi da fuoco. Nel campo della matematica, esaminiamo ad esempio x = sqrt3(y). Cio vuol dire che per calcolare x e necessario estrarre la radice cubica di y, come in 2 = sqrt3(8). La relazione inversa y = x3 e comunque esattamente equivalente alia precedente (ad esempio, 8 = 23). Eppure, quasi tutti concordano nel dire che calcolare il risultato di un numero elevato alia terza e molto più semplice rispetto all'estrazione della radice cubica. Nel suo teorema, Abel ebbe proprio questo tipo di intuizione, che invece sfuggl a Legendre in quasi quarant'anni di lavoro.
Il saggio si rivelò anche uno dei più lunghi di Niels Henrik (occupa infatti ben sessantasette pagine nella raccolta di tutti i suoi lavori). Lo straordinario studio, intitolato "Memoire sur unepropriete generate d'une classe tres etendue desfonctions transcendantes" (Memoria su una proprieta generate di una classe molto estesa di funzioni trascendenti, riprodotto nel Manoscritto parigino di Abel conservato nella Biblioteca Moreniana di Firenze), comprendeva sia la teoria sia la sua applicazione. Una volta completato il nuovo lavoro, il giovane riusci a malapena a contenere la propria eccitazione. Il 30 ottobre 1826, con un largo anticipo, Abel sottopose il suo saggio all'Accademia delle Scienze di Parigi, pensando di aver trovato il lasciapassare per la notorieta. Egli stesso era presence alla sessione dell'istituto francese quando venne illustrate il suo scritto. Con grande soddisfazione, Niels Henrik ascolto il segretario dell'Accademia, il matematico Jean Fourier (1768-1830), leggere l'introduzione al suo lavoro. Cauchy e Legendre furono subito nominati referees e al primo fu affidato l'incarico di comunicare un resoconto all'Accademia. Abel trascorse i due mesi successivi aspettando ansiosamente il verdetto.
A Parigi Abel incontrò il pittore Johan Gorbitz, suo compatriota. L'artista, che viveva nella capitale francese fin dal 1809, lavorava nell'atelier del famoso Jean-Antoine Gros, autore di dipinti di carattere storico. Nell'inverno del 1826, Gorbitz realizzo un ritratto di Abel, l'unico eseguito mentre il matematico era ancora in vita. Niels Henrik era molto ottimista ed era assolutamente convinto che la relazione sul saggio presentato all'Accademia avrebbe riportato commenti entusiastici. Supponeva che, dopotutto, quegli insigni matematici avrebbero riconosciuto il valore del suo lavoro. Quello di cui pero non riusciva a renders! conto era che i due studiosi chiamati a valutare il suo scritto erano, per motivi differenti, inadeguati al compito affidato loro. A quel tempo Legendre aveva gia settantaquattro anni e non aveva la pazienza di passare in rassegna l'intero manoscritto, che, stando alle sue parole, era «quasi illeggibile [...] con lettere scritte male usando una penna molto sottile».
Cauchy era invece troppo preso di se o, riprendendo le parole dello storico della matematica Eric Temple Bell, «era troppo occupato a covare le proprie uova per avere il tempo di esaminare le uova di aquila che il modesto Abel aveva gia deposto nel nido». Il risultato di queste circostanze poco favorevoli fu che Legendre non prese quasi in considerazione il lavoro, mentre Cauchy perse il saggio di Abel in una pila di scartoffie e se ne dimentico completamente. Provate a immaginare questa situazione: un autentico chefd'oeuvre, probabilmente importante come il dipinto di Claude Monet Impressions: il levar del sole lo fu per lo sviluppo deirimpressionismo, era andato smarrito e perduto. Solo due anni piu tardi Legendre apprese il contenuto del manoscritto grazie alia corrispondenza con Abel, che nel frattempo era ritornato in Norvegia. Un'altra persona che, nel 1829, acquisì una certa familiarita con il lavoro di Niels Henrik fu il grande matematico tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Il 14 marzo 1829 quest'ultimo scrisse con grande eccitazione a Legendre:
E' una vera e propria scoperta, questa generalizzazione dell'integrale di Eulero! Nessuno lo ha notato? Ma come è possibile che il lavoro di Abel, forse la più importante scoperta matematica del nostro secolo, sia sfuggita alla sua attenzione e a quella dei suoi colleghi dopo essere stata comunicata all'Accademia piu di due anni fa? Per tutta risposta, Legendre addusse la poco convincente scusa che il manoscritto era «quasi illeggibile».
Abel trascorse altri due mesi a Parigi, ma all'assottigliarsi delle sue risorse il suo sconforto cresceva e il suo stato di salute peggiorava di giorno in giorno. In questo periodo Niels Henrik fece la conoscenza di due soli personaggi degni di nota. Il primo era il matematico Johann Dirichlet (1805-1859), che, sebbene fosse piu giovane del norvegese, si era gik fatto un nome dimostrando, parallelamente a Legendre, l'ultimo teorema di Fermat per il caso n = 5. In altre parole, provo che non ci sono numeri interi x, y, z tali per cui x5 + y5 = z5. Il secondo era invece Jacques Frederic Saigey, responsabile di una rubrica di matematica e astronomia per cui Abel scrisse alcuni articoli riassumendo in pratica i saggi apparsi sul «Crelles Journal».
Nel frattempo Abel comincio a preoccuparsi per quello che, all'inizio, considerava un fastidioso raffreddore e per questo consulto alcuni medici. Pare che due anni dopo, sul letto di morte, il matematico norvegese esclamo: «Ecco, come puoi notare, quello che dissero a Parigi non era vero: Sicuramente non sto morendo di consunzione». Da questa affermazione si puo concludere che la diagnosi dei medici francesi era allarmante: tubercolosi. Rifiutando a quell'epoca di riconoscere le sue condizioni di salute, e sebbene le sue speranze fossero state infrante e il denaro disponibile scarseggiasse sempre di più, il 26 dicembre Abel decise di lasciare Parigi alia volta di Berlino.
Poco dopo il suo arrive nella capitale tedesca, Niels Henrik si ammalò, a testimonianza che la sua salute si stava rapidamente deteriorando. Crelle fece del proprio meglio per aiutare finanziariamente Abel, il quale ricevette un prestito anche da Holmboe. Incredibilmente, ne le sue preoccupazioni economiche, ne il suo precario stato di salute impedirono ad Abel di completare la sua pubblicazione piu importante, Ricerca sulle funzioni ellittiche, pubblicata all'interno della raccolta dei suoi lavori. Questo studio presentava una grande generalizzazione delle note funzioni trigonometriche (ad esempio, seno e coseno) e aveva importanti implicazioni persino nella teoria dei numeri. Crelle cerco di convincere Abel a rimanere a Berlino fino a quando non fosse riuscito a garantirgli un posto di lavoro. Niels Henrik era però stanco e sentiva una grande nostalgia di casa. Il 20 maggio 1827, il giovane matematico, fortemente indebitato e senza prospettive professionali, fece ritorno a Christiania.
Il ritorno in patria
La situazione a Christiania nel 1827 confermò le peggiori paure di Abel. In questo senso e bene ricordare che, in base alle condizioni imposte al momento deU'accettazione della borsa di studio, il giovane non avrebbe ricevuto fondi al suo rientro in Norvegia. Dopo che tutte le richieste di nuove sowenzioni andarono a vuoto, l'università riusci infine a garantirgli un esiguo stipendio con cui vivere. Il ministero delle finanze si riservo comunque il diritto di detrarre questa borsa di studio dai guadagni futuri di Niels Henrik. Anche con questo piccolo sussidio, il deharo non era sufficiente e, per far quadrare il bilancio, Abel non ebbe alternativa se non quella di dare lezioni private.
Crelly, la sua fidanzata, divenne la nuova istitutrice tlei figli della famiglia Smith, proprietaria della ferriera a Froland, nella Norvegia meridionale. L'inizio del 1828 porto al giovane matematico un significative miglioramento economico. Ià professor Hansteen riusci infatti a ottenere un generoso finanziamento per studiare il campo magnetico della Terra e Abel fu chiamato a sostituirlo temporaneamente sia all'università sia all'Accademia militare. Allo stesso tempo, Niels Henrik fu preso da una vera e propria smania di pubblicare. Nel settembre 1827 diede alle stampe non uno, ma ben due saggi sulle funzioni ellittiche. Uno era la prima parte dell'imponente trattato Ricerca sulle funzioni ellittiche, mentre l'altro annunciava i risultati di uno studio affine compiuto dal giovane matematico tedesco Jacob Jacobi. Per non essere preceduto da altri, Abel mando precipitosamente in stampa la seconda parte del manoscritto a cui aggiunse una nota che mostrava come fosse possibile ottenere i risultati di Jacobi partendo dai suoi. Ma, cosa piu importante per gli scopi del presente libro, lo studioso norvegese smise di lavorare su quella che era considerata la sua risposta definitiva alia questione riguardante il tipo di equazioni risolvibili con una formula. Questo permise a un altro giovane genio, Evariste Galois, di trovare la soluzione allo stesso problema aprendo cosl la strada al processo che porto alia formulazione della teoria dei gruppi.
Il genio di Abel iniziava a essere riconosciuto in tutta Europa. Legendre, che corrispondeva sia con il matematico norvegese sia con Jacobi sulla teoria delle funzioni ellittiche, dichiarò: «Grazie a questi lavori, voi due [Abel e Jacobi] sarete annoverati nella classe dei principali analisti del vostro tempo». Al pari della sua fama di matematico, la dura realta della precaria situazione economica di Niels Henrik giunse all'orecchio di alcuni studiosi europei, soprattutto grazie agli sforzi dell'infaticabile Crelle. Tra le iniziative in suo favore, quattro illustri membri dell'Accademia delle Scienze di Parigi scrissero a re Carlo XIV di Svezia e di Norvegia pregandolo di trovare un posto adeguato al talento di Abel. Ma la richiesta non sortì alcun effetto.
Niels Henrik trascorse l'estate del 1828 insieme a Crelly e alla famiglia Smith a Froland. Stando alle sue parole, qui il matematico si sentiva «circondato da angeli». Il giovane matematico versava di nuovo in una pessima situazione economica. Il ministero delle finanze fece pressioni chiedendo al collegio di «prendersi la premura di detrarre il prestito sopra citato dalla retribuzione del signor Abel in misura adeguata». Anche se l'università si rifiutò di seguire queste scandalose istruzioni, le finanze di Niels Henrik stavano diminuendo rapidamente.
Nell'autunno del 1828 Abel tornò a Christiania, pronto a cominciare l'anno scolastico. Ma già a settembre si ammalò gravemente e fu costretto a rimanere a letto per qualche settimana. Ciononostante, a meta dicembre, durante un inverno particolarmente rigido, il matematico norvegese ignoro i consigli della sorella e parti alia volta di Froland per trascorrere le festivita natalizie con la fidanzata. Ma si ammalo subito dopo Natale, cominciando anche a tossire fino allo svenimento. Malgrado fosse debilitate, Abel riuscì a scrivere un compendio molto breve del saggio parigino (che pensava di aver perduto per sempre) e lo invio al «Crelles Journal*. Il 9 gennaio, quando ormai Niels Henrik sputava sangue, venne chiamato il medico. Quest'ultimo esito a pronunciare la temuta parola «tubercolosi» o «consunzione», che, di fatto, equivaleva a una sentenza di morte, e diagnostico invece una polmonite.
I mesi seguenti furono un incubo per tutti coloro che erano vicini al giovane. Crelly e le due figlie maggiori della famiglia Smith si alternavano al suo capezzale. Nelle lunghe notti insonni, capitava di sentire Abel maledire l'intera categoria dei medici che non erano riusciti a trovare un rimedio per le sue sofferenze. Durante il giorno la situazione migliorava leggermente. Niels Henrik continuava a ripetere che Jacob Jacobi era l'unico matematico in grado di comprendere il valore dei suoi lavori. Talvolta lo studioso norvegese sprofondava neirautocommiserazione, lamentandosi tristemente della poverta che lo aveva accompagnato per tutta la vita. Mentre l'inverno volgeva ormai al termine, la voce di Abel diventava ogni giorno piu roca, tanto che era quasi impossibile capirlo. Ad aprile il tracollo; dopo una notte di agonia, nel pomeriggio del 6 aprile il giovane genio norvegese si spense a soli ventisei anni, circondato dall'affetto di una delle sorelle Smith e di Crelly.
L'8 aprile, ancora all'oscuro della sua morte, Crelle scrisse una lettera dai toni entusiastici dalla capitale tedesca: «Mio caro amico, ti porto ottime notizie. Il ministero dell'Istruzione ha deciso di offrirti un impiego a Berlino».
Il giovane matematico fu sepolto a Froland il 13 aprile 1829, il giorno dopo una violenta tempesta di neve. Furono i suoi amici a pagare la lapide funeraria. Crelle scrisse nel necrologio:
Tutti i lavori di Abel sono caratterizzati da un ingegno straordinario e da una forza del pensiero eccezionale [...] le difficoltk sembrano svanire di fronte alia carica vittoriosa del suo genio. Ma non fù solo il suo grande talento a [...] rendere la sua perdita infinitamente deplorevole. Si distinse sia per la purezza e la nobilta del suo carattere, sia per la singolare modestia che faceva apprezzare la sua persona tanto quanto il suo genio.
Il 28 giugno 1830, l'Accademia delle Scienze di Parigi annuncio che il premio per la matematica era stato assegnato ex aequo ad Abel e a Jacobi.
Ma quale fu il destino della memoria parigina di Niels Henrik? Dopo lo scambio di lettere tra Jacobi e Legendre e l'intervento del console norvegese a Parigi, Cauchy riuscì finalmente a ritrovare il manoscritto nel 1830. Ci vollero altri undici anni perchè il saggio fosse effettivamente pronto per essere pubblicato. Alia fine, come degna conclusione di questa saga di negligenze, lo scritto sparì un'altra volta durante la fase di stampa per riapparire a Firenze solo nel 1952.
Nel 2002 il governo norvegese stanzio un fondo pari a duecento milioni di corone norvegesi per il Premio Abel per la matematica.6 Questo riconoscimento, che viene conferito dal re di Norvegia in una cerimonia simile a quella del Nobel, fu consegnato per la prima volta il 3 giugno 2003 al famoso matematico francese Jean-Pierre Serre ed era pari a sei milioni di corone norvegesi (760.000 euro).
Il 25 maggio 2004 questo onore tocco a due grandi matematici: Sir Michael Francis Atiyah (Università di Edimburgo) e Isadore M. Singer (MIT). Finalmente questo riconoscimento ha conferito al nome di Abel il giusto merito. Per ironia della sorte, lo straordinario lavoro del piu povero fra i matematici viene celebrate con un premio in denaro. In quel freddo autunno del 1826 a Parigi avrebbe potato avere luogo l'incontro tra due del più importanti geni del mondo dei numeri. Abel non ne era a conoscenza, ma un giovane matematico francese che viveva a pochi chilometri di distanza stava cominciando a essere ossessionato esattamente dagli stessi problemi da cui era rimasto affascinato anche lui: un'equazione di quinto grado puo essere risolta con una formula? O, in termini piu generali, quali equazioni possono essere risolte utilizzando una formula? Evariste Galois aveva solo quindici anni quando Niels Henrik si trovava a Parigi, ma divorava gia libri di matematica come se fossero romanzi d'awentura. Sfortunatamente non sapremo mai come l'incontro tra queste due persone nate entrambe sotto una cattiva stella avrebbe potuto cambiare le loro vite. Una cosa e certa, pero: la storia di Galois e decisamente più tragica rispetto a quella gia di per se drammatica di Abel.
(Tratto da "L'equazione impossibile" di Mario Livio - 2005 Rizzoli)
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Niels Henrik Abel