GEOMETRIA DINAMICA CON Cinderella

Le geometrie in Cinderella

Questo software usa un trattamento unitario per le 3 geometrie: euclidea, iperbolica, ellittica. Tra l'una e l'altra non si nota alcuna differenza nei menu e nella barra dei comandi: ovviamente i risultati dei comandi dipendono dalla geometria scelta.

Per giungere a tale generalità gli Autori si sono rifatti alla teoria delle geometrie di Cayley-Klein, che prende origine da uno scritto di Klein (1871) intitolato "Sulla cosiddetta geometria non-euclidea", in cui l'autore, rifacendosi ad alcune idee precedenti dell'algebrista Cayley sulla metrizzazione degli spazi proiettivi, fa derivare varie geometrie (tra cui quelle che ci interessano) dalla geometria proiettiva dotata di opportune metriche.

A grandi linee la soluzione implementata in questo programma si riassume così:

ogni punto del piano è descritto mediante una terna di numeri complessi (coordinate omogenee complesse del punto).
Le rette e le curve restano definite di conseguenza da equazioni algebriche omogenee in 3 variabili complesse.
Una volta definita sul piano proiettivo complesso una conica [mediante un'equazione omogenea di secondo grado], è possibile definire in modo consistente la distanza tra punti e la misura degli angoli mediante il calcolo del logaritmo di birapporti tra punti o rette.
La congruenza tra figure è definita dall'uguaglianza delle loro misure.
A seconda della conica fondamentale scelta [detta da Cayley Assoluto], si ottengono varie geometrie, che soddisfano in maniera diversa i postulati euclidei.

In particolare, se la conica fondamentale è:

	un cerchio reale come x² + y² - z² = 0 , si ottiene la geometria iperbolica
	la conica degenere x² + y² = 0 , si ottiene la geometria euclidea
	un cerchio immaginario come x² + y² + z² = 0 , si ottiene la geometria ellittica

Si nota che gli elementi immaginari compaiono facilmente in questo contesto; il buono è che da operazioni su elementi immaginari si possono ottenere anche risultati reali, e quindi corrispondenti ad enti visualizzabili nel disegno.

Per la geometria iperbolica è disponibile anche la rappresentazione nel modello del cerchio di Poincaré, attivando la Vista Iperbolica; per la geometria ellittica è utile invece attivare la Vista Sferica, che realizza la rappresentazione secondo il modello della sfera di Riemann.

Da un punto di vista didattico è interessante il trattamento assolutamente uniforme delle geometrie, perché costringe lo studente a meditare sul significato di congruenza e di misura, consentendogli tra l'altro di trasferire l'esperienza in altre situazioni, come la Teoria della Relatività Speciale.