GEOMETRIA DINAMICA CON Cinderella

Geometria non euclidea

Cinderella si distingue per la presentazione naturale di queste geometrie. In genere negli altri software si ricorre a modelli all'interno della geometria euclidea. I modelli più usati sono questi:

Geometria Iperbolica

Modello di Klein-Beltrami
Il piano iperbolico è costituito dai punti interni di un cerchio [orizzonte]
Le rette sono le corde del cerchio.
La metrica prevede formule (basate sul logaritmo di birapporti) sia per la misura delle distanze che degli angoli.
Non essendo il modello conforme , non si possono valutare ad occhio le relazioni metriche tra i segmenti o gli angoli.
Una bella trattazione di questo modello, mediante Cabri, si trova nel sito abraCAdaBRI all'indirizzo http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm

hyper1.gif (3447 byte)

In questa immagine ci sono due rette di colore blu e un cerchio di colore verde. Si noti come il cerchio sia in realtà rappresentato da un'ellisse.
 

È più lungo il segmento AB o CD ?






Disco di Poincaré
Il piano iperbolico è costituito dai punti interni di un cerchio [orizzonte]
Le rette sono  archi di cerchio ortogonali all'orizzonte
I segmenti sono misurati come nel modello precedente, mentre gli angoli sono misurati secondo la normale metrica euclidea [si tratta di angoli tra archi di cerchio]. Data questa caratteristica, il modello si presta facilmente ad illustrare le relazioni angolari in geometria iperbolica, e per questo è molto usato.

hyper2.gif (3980 byte)
In questa immagine ci sono due rette di colore blu e un cerchio di colore verde. Si nota che il centro E del cerchio non si trova dove ci si aspetterebbe.










Semipiano di Poincaré
Il piano iperbolico è costituito da un semipiano.
Le rette sono semicerchi centrati sulla retta sostegno del semipiano o semirette ad essa perpendicolari.
Anche questo modello conserva la misura euclidea degli angoli.

hyper3.gif (1709 byte)In questa immagine ci sono gli stessi elementi della figura precedente, rappresentati in questo diverso modello

 

Geometria Ellittica

Disco di Klein
Il piano ellittico è rappresentato dall'interno di un cerchio e dalle coppie di punti antipodali sulla circonferenza.
Le rette sono i diametri o gli archi di cerchio che incrociano l'orizzonte agli estremi di un diametro.
Il modello è conforme, cioè conserva la misura euclidea degli angoli.
Ellipt1.gif (2722 byte)
L'immagine mostra un triangolo azzurro con le tre altezze rosse. Le altezze come si vede si incontrano in un punto.
Misurando gli angoli del triangolo si trova che la loro somma supera 180° .
L






Sfera di Riemann
Il piano ellittico è rappresentato dalle coppie di punti antipodali su una superficie sferica [due punti antipodali sono lo stesso punto ellittico].
Le rette sono i circoli massimi della sfera.
Ellipt2.gif (6859 byte)

Così appare la figura precedente in questo modello.
 

Su non euclidea 2