Nella quinta lezione tenuta all'École Normale nell'anno III della
Repubblica, Lagrange, oltre ad esporre la formula che va sotto il suo nome,
delinea in modo chiaro il possibile uso dell'interpolazione polinomiale in
algebra, in particolare nella risoluzione (per approssimazioni successive) delle
equazioni.
Ecco una breve sintesi del suo pensiero.
Dopo aver mostrato come qualsiasi equazione si può risolvere per via grafica se
si sa disegnare, per via meccanica o meno, il grafico dell'equazione in x e y
che si ottiene raggruppando tutti i termini a sinistra dell'uguale, L. mostra su
un esempio, che porta ad un'equazione di quarto grado, come le considerazioni
sul grafico possano fornire indicazioni sul numero e la localizzazione delle
soluzioni, ancora prima di eseguire nessuna trasformazione algebrica. Più in
generale ".. basta considerare le condizioni imposte
dal problema, dare all'incognita vari valori arbitrari, e determinare, in base
alle condizioni del problema, mediante calcolo o costruzione, gli errori che ne
risultano. Considerando questi errori come ordinate y di una curva le cui
ascisse x sono i valori corrispondenti dell'incognita, ne risulterà una
curva continua che chiameremo curva degli errori, che mediante le
sue intersezioni con l'asse darà tutte le soluzioni del problema. Così se si
trovano due errori successivi, uno per eccesso e l'altro per difetto,
cioè uno positivo e l'altro negativo, se ne concluderà che tra questi due
valori corrispondenti dell'incognita, ce ne sarà uno per cui l'errore sarà
nullo, e cui ci si potrà avvicinare quanto si vuole per sostituzioni
successive, oppure mediante descrizione meccanica della curva. Questo modo di
risolvere le questioni mediante le curve degli errori è uno dei più utili che
siano stati immaginati; è di uso continuo in astronomia, dove le soluzioni
dirette sarebbero troppo difficili e spesso impossibili; può servire a
risolvere importanti questioni di geometria, meccanica e anche di fisica; è,
propriamente parlando, la regola di falsa posizione presa nel senso più
generale e resa applicabile a tutte le questioni in cui c'è un'incognita da
determinare".
Fornisce poi due problemi d'esempio e li discute. Il problema che rimane
aperto è come disegnare il grafico, avendo un numero limitato di punti. La via
algebrica consiste nell'individuare una curva che passi per tutti i punti:
".. il problema è ovviamente indeterminato, perché
ci sono infinite curve che passano per i punti dati, ma non si tratta di trovare
curve qualsiasi, bensì le più semplici e facili da usare". E tra
le semplici si impongono naturalmente i polinomi. L. espone quindi il metodo di
Newton e poi la sua formula di interpolazione, concludendo con questa
osservazione:".. in questi esempi essendo da trovare
non l'errore corrispondente ad una data supposizione, ma la supposizione che
produce un errore nullo; è chiaro che questa questione è inversa della
precedente [interpolazione della curva degli errori] e può tuttavia essere
risolta con la stessa formula scambiando il ruolo degli errori e delle
supposizioni corrispondenti".
