TEOREMA DI BERNULLI

Dalla meccanica elementare sappiamo che un elemento di massa fluida in movimento appartenente ad una Sezione S, possiede una certa dose di energia dovuta (fig. 1):

  1. alla posizione (energia di posizione o potenziale Eh) dipendente dall’altezza h dal piano di riferimento;
  2. alla velocità (energia cinetica o forza viva Ec) ;
  3. alla pressione  (energia piezometrica Ep) dovuta alla pressione.

Fig. 1

 

Quindi Bernulli enuncia che: in qualunque sezione di una vena liquida (ideale) in regime di moto permanente (o uniforme) la somma dell’energia potenziale (Ep), cinetica (Ec) e piezometrica (Eh) è costante, cioè non varia da sezione a sezione.

Ep + Ec + Eh = cost.

  

Ep = p h;    Ec = ;    Eh =

Fig. 2

Analizziamo i tre termini facendo riferimento ad una massa unitaria di liquido:

ENERGIA POTENZIALE (Ep): 

è l’energia dipendente dalla quota (h) altimetrica alla quale è posta la massa liquida.

 

Ep = Forza x spostamento

 

Dove: F = P (peso della massa unitaria);

s = h (quota altimetrica della massa unitaria)

quindi

Ep = P h

 

ENERGIA CINETICA (Ec):   è l’energia dipendente dalla velocità (V) che possiede la massa unitaria sottoposta ad un MOTO NATURALMENTE ACCELLERATO in conseguenza del campo gravitazionale in cui è immersa.
 

Ec = Forza x spostamento

Dove: 

F = massa x aaccellerazione

Quindi:

dove

  (moto uniformemente accelerato)

 

sostituendo avremo:

 Ma se V = at allora V2 = a2t2 quindi:

 

Dalla fisica sappiamo che il peso "P" equivale alla massa "m" per l’accelerazione di gravità "g", quindi tradotto in formula:

di conseguenza

sostituendo alla (1) otterremo:

ENERGIA PIEZOMETRICA (Eh): 

è l’energia dipendente dalla pressione idrostatica "p" esistente sulla massa unitaria in movimento con velocità "V"

 

 Eh = Forza x spostament

Dove:

F = p A (spinta idrostatica sulla sezione A)

S = V t (spostamento nel tempo unitario)

Quindi sostituendo:

Eh = p A V t

 Ma sappiamo che V A = Q e quindi sostituendo avremo

Eh = p t Q

Sapendo che il peso "P" è uguale al prodotto della portata "Q" per il peso specifico"g" nell’unità di tempo "t" considerato

P = Q g t

e di conseguenza

 

 avremo così

 

Quindi l’equazione di Bernulli Ep + Ec + Eh = cost. diverrà:

e dividendo il tutto per il peso "P" avremo:

Applicando questo principio per due sezioni distinte avremo:

Si noti che tutti i termini dell’equazione possono essere interpretati come altezze o quote altimetriche:

- quota altimetrica dell’asse della corrente nella sezione in esame;

- altezza di caduta occorrente ad un grave di massa unitaria, sottoposto all’accelerazione "g", per raggiungere la velocità "V";

-   quota, rispetto all’asse della corrente, cui corrisponderebbe il liquido se inserissimo sulla sezione considerata un tubo manometrico.