Dalla meccanica elementare sappiamo che un elemento di massa fluida in movimento appartenente ad una Sezione S, possiede una certa dose di energia dovuta (fig. 1):
Fig. 1
Quindi Bernulli enuncia che: in qualunque sezione di una vena liquida (ideale) in regime di moto permanente (o uniforme) la somma dell’energia potenziale (Ep), cinetica (Ec) e piezometrica (Eh) è costante, cioè non varia da sezione a sezione.
Ep + Ec + Eh = cost.
Ep = p h; Ec = ; Eh =
Fig. 2
Analizziamo i tre termini facendo riferimento ad una massa unitaria di liquido:
ENERGIA POTENZIALE (Ep): |
è l’energia dipendente dalla quota (h) altimetrica alla quale è posta la massa liquida. |
Ep = Forza x spostamento |
Dove: F = P (peso della massa unitaria);
s = h (quota altimetrica della massa unitaria)
quindi
Ep = P h
ENERGIA CINETICA (Ec): | è l’energia dipendente dalla velocità (V) che possiede la massa unitaria sottoposta ad un MOTO NATURALMENTE ACCELLERATO in conseguenza del campo gravitazionale in cui è immersa. |
Ec = Forza x spostamento |
Dove:
F = massa x aaccellerazione
Quindi:
dove
(moto uniformemente accelerato)
sostituendo avremo:
Ma se V = at allora V2 = a2t2 quindi:
Dalla fisica sappiamo che il peso "P" equivale alla massa "m" per l’accelerazione di gravità "g", quindi tradotto in formula:
di conseguenza
sostituendo alla (1) otterremo:
ENERGIA PIEZOMETRICA (Eh): | è l’energia dipendente dalla pressione idrostatica "p" esistente sulla massa unitaria in movimento con velocità "V" |
Eh = Forza x spostament |
Dove:
F = p A (spinta idrostatica sulla sezione A)
S = V t (spostamento nel tempo unitario)
Quindi sostituendo:
Eh = p A V t
Ma sappiamo che V A = Q e quindi sostituendo avremo
Eh = p t Q
Sapendo che il peso "P" è uguale al prodotto della portata "Q" per il peso specifico"g" nell’unità di tempo "t" considerato
P = Q g t
e di conseguenza
avremo così
Quindi l’equazione di Bernulli Ep + Ec + Eh = cost. diverrà:
e dividendo il tutto per il peso "P" avremo:
Applicando questo principio per due sezioni distinte avremo:
Si noti che tutti i termini dell’equazione possono essere interpretati come altezze o quote altimetriche:
- quota altimetrica dell’asse della corrente nella sezione in esame;
- altezza di caduta occorrente ad un grave di massa unitaria, sottoposto all’accelerazione "g", per raggiungere la velocità "V";
- quota, rispetto all’asse della corrente, cui corrisponderebbe il liquido se inserissimo sulla sezione considerata un tubo manometrico.