ESPLICAZIONE DELLE LINEE METALLICHE
NOTATE APPRESSO LE STEREOMETRICHE.

Sono le presenti linee segnate con alcune divisioni, alle quali sono aggiunti questi caratteri: Or. Pi. Ar. Ra. Fe. St. Ma. Pie., che significano Oro, Piombo, Argento, Rame, Ferro, Stagno, Marmo, Pietra. Dalle quali si hanno le proporzioni e differenze di peso, che si trovano fra le materie in esse notate: in guisa che, costituito lo Strumento in qual si voglia apertura, gl'intervalli che cascano fra i punti l'uno all'altro corrispondenti, vengono ad esser diametri di palle, o lati d'altri corpi tra loro simili ed eguali di peso; cioè, che tanto sarà il peso di una palla d'oro il cui diametro sia eguale alla distanza Or. Or., quanto d'una di piombo il cui diametro sia l'intervallo tra li punti Pi. Pi., o una di marmo il cui diametro sia la distanza tra li punti Ma. Ma.

Dal che possiamo in un istante venir in cognizione, quanto grande si doveria far un corpo d'una delle sopranotate materie, acciò fosse in peso eguale ad un altro simile, ma di altra delle materie dette; la qual operazione addimanderemo trasmutazione della materia. Come se, per essempio , la linea A fosse diametro d'una palla di stagno, e noi volessimo trovare il diametro d'un'altra d'oro, a quella in peso eguale, prenderemo con un compasso la linea A, e questa applicata, aprendo lo Strumento, alli punti St. St., piglieremo immediate l'intervallo tra li punti Or. Or.; e tale sarà il diametro della palla di oro, cioè la linea B, eguale all'altra di stagno. Ed il medesimo intendasi di tutti gli altri corpi solidi, e delle altre materie notate. Ma se congiugneremo l'uso di queste linee con quello delle precedenti, ne caveremo molte comodità maggiori; come di sotto si dichiarerà. E prima.

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CON LE LINEE PREDETTE POTREMO RITROVAR LA PROPORZIONE CHE HANNO IN PESO TRA DI LORO TUTTI LI METALLI ED ALTRE MATERIE NELLE LINEE METALLICHE NOTATE.

Vogliamo, per essempio, trovare qual proporzione abbino fra di loro in peso questi due metalli, argento ed oro. Prendi con un compasso la distanza tra 'l centro dello Strumento ed il punto notato Ar., e questa, aperto lo Strumento, applica a qual più ti piace de i numeri delle Linee Stereometriche, e sia, per essempio, applicata alli punti 100.100; dipoi, senza punto muover lo Strumento, piglia la distanza tra 'l centro del medesimo Strumento ed il punto Or., e questa vedi a che numero s'accomodi sopra le Linee Stereometriche; e trovato, per essempio, adattarsi alli punti 60.60, dirai la proporzione del peso dell'oro a quello dell'argento esser in spezie come 100 a 60. E nota che, nell'operare, li diametri presi ed applicati alle Linee Stereometriche ti mostreranno la proporzione in peso de i loro metalli permutatamente, cioè, come nell'addotto essempio s'è veduto, dal diametro dell'argento ti viene denotato il peso dell'oro, e da quello dell'oro il peso dell'argento: e così venghiamo ad intendere come l'oro è più grave dell'argento a ragione di 40 per 100, essendo che 40 è la differenza tra li due pesi ritrovati per l'oro e per l'argento.

Dal che possiamo venir in cognizione della resoluzione d'un quesito molto bello: che è, propostaci qual si voglia figura di una delle materie notate nelle Linee Metalliche, trovare quanta di un'altra delle dette materie ve ne bisognerà per formarne un'altra a quella eguale; come, v. g., abbiamo una statua di marmo; vorremmo sapere quanto argento v'anderia per farne una della medesima grandezza. Per il che trovare, farai pesare quella di marmo, e sia il suo peso, v. g., 25 libre; poi piglia la distanza tra 'l centro dello Strumento ed il punto Ar., che è la materia della statua futura, e questo applicherai, aprendo lo Strumento, alle Linee Stereometriche, ed al punto segnato col numero del peso della statuetta, cioè alli punti 25.25; e, non movendo lo Strumento, piglierai la distanza tra 'l centro ed il punto Ma., e questa vedrai a che numero, pur trasversalmente, delle Linee Stereometriche si accomodi; e trovato come s'adatta alli punti 96.96, dirai 96 libre d'argento esser necessarie per fare la statua eguale in grandezza all'altra di marmo.

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CONGIUGNENDO GLI USI DELLE LINEE METALLICHE E STEREOMETRICHE,
DATI DUE LATI DI DUE SOLIDI SIMILI E DI DIVERSE MATERIE,
TROVARE QUAL PROPORZIONE ABBINO FRA DI LORO DETTI SOLIDI IN PESO.

È la linea A diametro d'una palla di rame, e la B diametro di una di ferro; vorremmo sapere qual proporzione hanno fra di loro in peso. Prendi col compasso la linea A, ed aperto lo Strumento applicala alli punti delle Linee Metalliche segnati Ra. Ra.; e senza alterare tal apertura prendi immediatamente la distanza tra li punti Fe. Fe., che sarà quanto la linea X: la quale se sarà eguale alla B, diremo li due solidi A, B essere di peso eguali; ma trovata la X diseguale alla B, ed essendo diametro d'una palla di ferro eguale in peso all'A, è manifesta cosa, che la medesima differenza sarà tra le due palle A, B che è tra l'X, B. E perché X e B sono della medesima materia, troverassi la loro differenza facilmente con le Linee Stereometriche, come di sopra nell'operazione XVI s'è dichiarato: cioè prenderemo la linea X, e l'applicheremo, aprendo lo Strumento, a qualche numero, come, v. g., al 30; il che fatto, si considererà a quale s'aggiusti la linea B; e trovato, per essempio, accomodarsi al 10, diremo la palla di rame A esser tripla della di ferro B.

Il converso della precedente operazione si potrà con pari facilità con le medesime linee ritrovare; cioè, come, dato il peso ed il diametro, o lato, d'una palla, o altro solido, di una delle materie notate sopra lo Strumento, si possa trovare la grandezza d'un altro solido simile, e di qualunque altra delle dette materie, e che pesi qual si voglia peso propostoci. Come, per essempio, essendo la linea X diametro d'una palla di marmo che pesa 7 libre, trovisi il diametro d'una di piombo che ne pesi 20. Qui si vede come doviamo fare due operazioni: l'una, trasmutare il marmo in piombo; e l'altra, crescere il peso di 7 sino al 20. La prima operazione si farà con le Linee Metalliche, accomodando il diametro X alli punti del marmo trasversalmente, pigliando poi, senza muover lo Strumento, l'intervallo tra li punti del piombo, che sarà la grandezza del solido di piombo che peserebbe quanto il proposto di marmo, cioè libre 7. Ma perché volevamo libre 20, ricorreremo all'aiuto delle Linee Stereometriche: ed applicato questo intervallo trasversalmente alli punti 7.7, prenderemo subito la distanza, pur trasversale, tra li punti 20, che sarà eguale alla linea D; la quale senza dubio verrà ad esser il lato della figura solida di piombo, che peserà libre 20.

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COME QUESTE LINEE CI SERVONO PER CALIBRO DA BOMBARDIERI
ACCOMODATO UNIVERSALMENTE A TUTTE LE PALLE
DI QUAL SI VOGLIA MATERIA ED A TUTTI LI PESI.

Manifestissima cosa è, diverso esser il peso di diverse materie, ed assai più grave esser il ferro della pietra, ed il piombo del ferro; dal che ne séguita, che, dovendosi tirare con l'artigliaria tal ora palle di pietra, altre volte di ferro, o ancora di piombo, il medesimo pezzo che porti tanto di palla di piombo, porterà meno di ferro, e molto meno di pietra, e che, per conseguenza, diverse cariche per le diverse palle se li dovranno dare; laonde quelle sagome, o calibri, sopra i quali fussero notati i diametri delle palle di ferro con li pesi loro, non potranno servirci per le palle di pietra, ma bisognerà che le misure di detti diametri s'accreschino o diminuischino, secondo le diverse materie. In oltre è manifesto che appresso diversi paesi s'usano diversi pesi, anzi che non solamente in ogni provincia, ma quasi in ogni città, sono differenti: dal che ne séguita, che quel calibro, che fusse accomodato al peso d'un luogo, non potrà servirne al peso d'un altro; ma secondo che le libre saranno maggiori o minori in uno ch'in un altro luogo, bisognerà che le divisioni del calibro ottenghino maggiori o minori intervalli. Dal che possiamo concludere, che un calibro che si adatti ad ogni sorte di materia e ad ogni differenza di peso bisogna che per necessità sia mutabile, cioè che si possa crescere e diminuire: e tale a punto è quello che nel nostro Strumento vien segnato, perché, aprendo più o meno, si crescono o diminuiscono gl'intervalli, che tra le divisioni d'esso si ritrovano, senza punto alterar le loro proporzioni.

Ed avendo tali cose in universale dichiarate, passeremo all'applicazione particolare di questo calibro a tutte le differenze di pesi, ed a tutte le materie diverse. E perché non si può venir in cognizione d'alcuna cosa ignota senza il mezo di qualch'altra conosciuta, fa di mestiero che ci sia noto un solo diametro d'una palla di qual si voglia materia, e di qual si voglia peso rispondente alle libre, che nel paese dove vogliamo usare lo Strumento si costumano: dal qual solo diametro verremo, col mezo del nostro calibro, in cognizione del peso di qual si voglia altra palla e di qualunque altra materia; intendendo però delle materie sopra lo Strumento notate.

Ed il modo di conseguir tal cognizione faremo facilmente con un esempio manifesto. Supponghiamo, v. g., esser in Venezia, e di voler quivi servirci del nostro calibro per riconoscer la portata d'alcuni pezzi d'artigliaria; prima procureremo d'aver il diametro ed il peso di una palla di alcuna delle materie sopra detto Strumento segnate; e, per essempio, supporremo d'avere il diametro d'una palla di piombo di libre 10, al peso di Venezia: il qual diametro noteremo con due punti nella costa d'un'asta dello Strumento. Quando dunque vorremo accomodare ed aggiustare il calibro in maniera che, presa la bocca d'un pezzo d'artigliaria, e trasportata sopra esso calibro, conosciamo quante libre di palla di piombo essa porti, non dovremo far altro salvo che prender col compasso quel diametro di 10 libre di piombo, già sopra la costa dello Strumento segnato, ed aprir poi lo Strumento tanto che detto diametro s'aggiusti alli punti delle Linee Stereometriche segnati 10.10: le quali, così aggiustate, ci serviranno per calibro esattissimo; tal che, preso il diametro della bocca di qualsivoglia artigliaria, e trasferitolo sopra detto calibro, dal numero de i punti, a i quali s'adatterà, conosceremo quante libre di palla di piombo porti la detta artigliaria. Ma se volessimo aggiustare lo Strumento sì che il calibro rispondesse alle palle di ferro, allora prenderemo pur l'istesso diametro delle 10 libre di piombo sopra la costa notato, e dipoi l'applicheremo a i punti delle Linee Metalliche segnate Pi. Pi.; e, senza alterare lo Strumento, piglieremo con un compasso l'intervallo tra i punti segnati Fe. Fe., il quale sarà il diametro d'una palla di ferro di 10 libre; e questo diametro, aprendo lo Strumento, s'applicherà a i punti delle Linee Stereometriche, segnati 10.10; ed allora saranno dette linee esquisitamente accomodate per calibro delle palle di ferro. E con simile operazione si aggiusterà per le palle di pietra.

E notisi che, occorrendoci notare sopra la costa dello Strumento diversi diametri di palle rispondenti alle libre di varii paesi, per fuggire la confusione, noteremo sempre diametri di palle di piombo di 10 libre di peso, li quali troveremo esser maggiori o minori secondo la diversità delle libre. Ed il segnare tali diametri, senza obligarci a ritrovare attualmente palle di piombo di 10 libre di peso, non ci sarà difficile, per quello che di sopra nella operazione XXIII si è insegnato: dove, dato un diametro d'una palla di qual si voglia peso e di qualunque materia, s'è veduto come si trovi il diametro d'un'altra d'ogni altro peso e di qual si voglia altra materia, intendendo però sempre delle materie sopra le Linee Metalliche notate; tal che, ritrovandoci noi in qual si voglia paese, pur che troviamo una palla di marmo, di pietra, o d'altra materia sopra lo Strumento segnata, potremo in un subito investigare il diametro di una palla di piombo di 10 libre di peso.

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COME, PROPOSTO UN CORPO DI QUAL SI VOGLIA MATERIA, POSSIAMO RITROVARE TUTTE LE MISURE PARTICOLARI DI UNO DI ALTRA MATERIA, E CHE PESI UN DATO PESO.

Tra gli usi che da queste medesime linee si possono cavare, uno è questo, col quale possiamo crescere o diminuire le figure solide secondo qual si voglia proporzione, non mutando, o vero mutando, la materia: il che dal seguente essempio s'intenderà. Ci viene presentato un piccolo modello d'artigliaria fatto, v. g., di stagno, e noi aviamo bisogno di cavare da tal modello tutte le misure particolari per un pezzo grande fatto di rame, e che pesi, per essempio, 5000 libre. Prima faremo pesare il piccolo modello di stagno, e sia il suo peso libre 17. Dipoi prenderemo una delle sue misure, qual più ci piacerà, e sia, v. g., la sua grossezza alla gioia, la quale applicheremo, aprendo lo Strumento, alli punti St. St. delle Linee Metalliche (essendo questa la materia del modello propostoci); e perché il pezzo grande deve farsi di rame, prenderemo immediatamente la distanza tra li punti Ra. Ra., la quale saria la grossezza della gioia d'una artigliaria di rame, quando quella dovesse pesare quanto l'altra di stagno. Ma perché deve pesare libre 5000, e non 17 come l'altra, però ricorreremo alle Linee Stereometriche, sopra le quali applicheremo quell'intervallo pur ora preso tra li punti Ra. Ra. alli punti segnati 17.17; e, non movendo lo Strumento, piglieremo l'intervallo de i punti 100.100, che saria la grossezza alla gioia d'un pezzo di 100 libre di peso. Ma noi vogliamo che sia di libre 5000; però questa distanza si deve augumentare secondo la proporzione quinquagecupla: onde, aprendo più lo Strumento, la metteremo a qualche numero, del quale ve ne sia un altro 50 volte maggiore; come saria se l'applicassimo alli punti 2.2, pigliando poi l'intervallo tra li punti 100.100, il quale senz'alcun dubbio sarà la misura della grossezza, che deve darsi alla gioia. E con tal ordine si ritroveranno tutte le misure particolari di tutti li altri membri, come della gola, de gli orecchioni, della culatta, etc.

Né meno resteremo di ritrovare la lunghezza dell'artigliaria, ancorché non possiamo aprire il nostro Strumento sino a tanto spazio. E per trovarla, del piccolo modello non piglieremo l'intera lunghezza, ma solo una sua parte, come saria l'ottava o la decima, etc.; la quale accresciuta con l'ordine pur ora dichiarato, ci rappresenterà in fine l'ottava o decima parte di tutta la lunghezza dell'artigliaria grande.

Ma qui potria per avventura a qualch'uno nascer difficoltà, se dalle nostre Linee Metalliche, nel modo che si sono trovate le dette misure trasmutando l'uno nell'altro metallo semplice, così si potesse far l'istesso in una allegazione di due metalli, come a punto quando nell'essempio sopraposto volessimo formare il pezzo non di rame schietto, ma di metallo misto di rame e di stagno, come anco comunemente si costuma di fare: onde noi, per intera sodisfazione, mostreremo potersi, con l'aiuto delle medesime Linee Metalliche, ritrovare le medesime misure in qual si voglia allegazione, non altrimente che in un semplice metallo. E ciò si farà con l'aggiugner due piccolissimi punti sopra le Linee Metalliche; dico piccolissimi, acciò che ad arbitrio nostro, di poi che ce ne saremo serviti, possiamo cancellarli: e dato, per essempio, che il pezzo dell'artigliaria che vogliamo fare, non di rame puro, come di sopra si suppose, ma di bronzo, dovesse esser gettato, la cui lega fusse per ogni 3 di rame uno di stagno, allora verremo con diligenza dividendo, tanto dall'una quanto dall'altra parte, quella breve linea che è tra li punti segnati Ra. e Sta. in quattro particelle, delle quali tre se ne lascieranno verso lo stagno ed una sola verso il rame, e quivi si farà il punto apparente: del qual punto (segnato, come si disse, tanto nell'una quanto nell'altra Linea Metallica) ci serviremo per la trasmutazione del metallo, non altrimenti che ci servimmo di sopra de i punti Ra. Ra. E con simil regola si potranno, secondo l'occorrenze, segnare nuovi punti di allegazioni di qual si voglino due metalli, e secondo qual si voglia lega.

Ma non saria fuori di proposito e senza comodo notabile, ed in particolare quando s'abbia da fare la trasmutazione in metallo misto ed allegato di due altri secondo qualunque proporzione, l'avertire, che quando si sia trovata una sola delle misure che si ricercano, con l'operare con somma esquisitezza nel modo dichiarato di sopra, si potranno, in virtù di questa unica misura ritrovata, investigare poi tutte l'altre con l'aiuto delle Linee Aritmetiche, con modo non molto differente da quello che nell'operazione terza fu dichiarato. Come, per essempio, era la linea A il diametro, o, vogliamo dire, la grossezza alla gioia, del modello d'artigliaria propostoci; e si trovò la linea B per grossezza della gioia dell'artigliaria di libre 5000, da farsi di metallo che tenga tre di rame e due di stagno. Dico adesso, che per trovar tutte l'altre dimensioni che restano, ci potremo prevalere delle Linee Aritmetiche, pigliando la linea B ed applicandola per traverso a che punto ci piace di esse Linee Aritmetiche, e quanto maggior numero piglieremo, meglio sarà; laonde l'applicheremo, v. g., all'ultimo punto, cioè al 250: e non movendo lo Strumento, vederemo a qual punto s'accomodi, pur trasversalmente, la linea A, che sia, v. g., al 44; dal che vegniamo in cognizione, come, essendo la misura A del modello punti 44, quella che gli ha da rispondere del pezzo reale deve essere 250 de i medesimi punti. E questa medesima proporzione ha da esser osservata in ciascheduna altra misura: onde per trovare, per essempio, la grossezza del pezzo reale nella gola, prenderai tal grossezza dal piccolo modello, ed applicala trasversalmente alli punti 44 delle Linee Aritmetiche, prendendo poi, pur trasversalmente, la distanza fra li punti che sarà la grossezza della gola dell'artigliaria grande. E col medesimo ordine si troveranno tutte l'altre misure.

In oltre per trovare facilissimamente e con somma esquisitezza la linea B prima, che risponda al punto della lega delli due metalli assegnati, si potrà proceder così: ritrovando prima separatamente le due misure semplici, che respondino l'una allo stagno e l'altra al rame, come le due linee CD, CE, delle quali CD sia la misura rispondente al rame puro, e la CE al puro stagno, sì che la differenza loro sia la linea DE, la quale si dividerà secondo la proporzione assegnata per la lega: come, volendo 3 di rame e 2 di stagno, si taglierà la linea DE nel punto F, in maniera che la FE verso lo stagno sia 3 parti, e la FD verso il rame parti 2; che si farà col dividere tutta la DE in cinque parti, lasciandone 3 verso E e 2 verso D: e la linea CF sarà la nostra principale, qual fu poco di sopra la linea B; secondo la ragion della quale, col semplice mezo delle Linee Aritmetiche, si troveranno tutte l'altre misure, senza più ricorrere ad altre Linee Metalliche o Stereometriche, nel modo che si è insegnato nella terza operazione.

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DELLE LINEE POLIGRAFICHE,
E COME CON ESSE POSSIAMO DESCRIVERE I POLIGONI REGOLARI,
CIOÈ LE FIGURE DI MOLTI LATI ED ANGOLI EGUALI.

Volgendo lo Strumento dall'altra parte, ci si rappresentano le linee più interiori, nominate Poligrafiche dal loro uso principale, che è di descrivere sopra una linea proposta figure di quanti lati ed angoli eguali ci verrà ordinato. E questo facilmente conseguiremo pigliando con un compasso la lunghezza della linea data, la quale si adatterà alli punti segnati 6.6; dipoi, senza muover lo Strumento, piglieremo l'intervallo tra i punti notati col numero che numera i lati della figura che descrivere vogliamo: come, v. g., per descrivere una figura di 7 lati, prenderemo l'intervallo tra li punti 7.7, il quale sarà il semidiametro del cerchio che comprenderà l'eptagono da descriversi; sì che, posta un'asta del compasso ora sopra l'uno ed ora sopra l'altro termine della linea data, faremo sopra di essa un poco d'intersecazione con l'altra, e quivi fatto centro, descriveremo con l'istessa apertura un cerchio occulto, il quale, passando per i termini della data linea, la riceverà 7 volte a punto nella sua circonferenza; onde l'eptagono ne venga descritto.

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DIVISIONE DELLA CIRCONFERENZA DEL CERCHIO IN QUANTE PARTI CI PIACERÀ.

Con queste linee si dividerà la circonferenza in molte parti, operando per il converso della precedente operazione, pigliando il semidiametro del cerchio dato, ed applicandolo al numero delle parti nelle quali si ha da dividere il cerchio, pigliando poi sempre l'intervallo de i punti 6.6, il quale dividerà la circonferenza nelle parti che si volevano.

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ESPLICAZIONE DELLE LINEE TETRAGONICHE,
E COME COL MEZO D'ESSE SI QUADRI IL CERCHIO ED OGNI ALTRA FIGURA REGOLARE,
E PIÙ COME SI TRASMUTINO TUTTE L'UNA NELL'ALTRA.

Sono queste Linee Tetragoniche così dette dal loro uso principale, che è di quadrare tutte le superficie regolari, ed il cerchio appresso; e ciò si fa con facilissima operazione. Imperò che, volendo costituire un quadrato eguale a un dato cerchio, altro non doviamo fare salvo che prendere con un compasso il suo semidiametro, ed a questo, aprendo lo Strumento, aggiustare li due punti delle Linee Tetragoniche segnati con li due piccoli cerchietti; e non movendo lo Stromento, se si prenderà col compasso l'intervallo tra i punti delle medesime linee segnate 4.4, si averà il lato del quadrato eguale al dato cerchio. E non altrimenti, quando volessimo il lato del pentagono, o dello esagono, eguali al medesimo cerchio, si prenderà la distanza tra i punti 5.5, o quella tra i punti 6.6; che tali sono i lati del pentagono, o dell'esagono, eguali al medesimo cerchio.

In oltre, quando volessimo per il converso, dato un quadrato o altro poligono regolare, trovar un cerchio ad esso eguale, preso un lato dal detto poligono, ed accomodatolo al punto delle Linee Tetragoniche rispondente al numero de i lati della figura proposta, si prenderà, senza movere lo Strumento, la distanza tra le note del cerchio; la quale, fatta semidiametro, descriverà il cerchio eguale al dato poligono. Ed in conclusione, con quest'ordine potrassi ritrovare il lato di qual si voglia figura regolare, eguale a qualunque altra propostaci. Come, v. g., dovendo noi costituire un ottangolo eguale a un dato pentagono, s'aggiusterà lo Strumento sì che il lato del pentagono proposto s'accomodi alli punti 5.5; e non mutando lo Strumento, l'intervallo fra li punti 8.8 sarà il lato dell'ottangolo, che si cercava.

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COME PROPOSTE DIVERSE FIGURE REGOLARI, BEN CHE TRA DI LORO DISSIMILI,
SE NE POSSA COSTITUIRE UNA SOLA EGUALE A TUTTE QUELLE.

La resoluzione del presente problema depende dalla precedente operazione e dalla X di sopra dichiarata. Per ciò che essendoci, v. g., proposte queste figure, un cerchio, un triangolo, un pentagono, ed un exagono, ed imposto che troviamo un quadrato eguale a tutte le dette figure, prima, per l'operazione precedente, troveremo separatamente 4 quadrati eguali alle 4 dette figure; dipoi, col mezo dell'operazione X, troveremo un solo quadrato eguale a quelli 4, il quale senz'alcun dubio sarà eguale alle 4 figure proposte.

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COME SI POSSA COSTITUIRE QUAL SI VOGLIA FIGURA REGOLARE EGUALE AD OGN'ALTRA IRREGOLARE, MA RETTILINEA, FIGURA PROPOSTA.

La presente operazione è non meno utile che curiosa, insegnandoci il modo, non pure di riquadrare tutte le superficie irregolari, ma di ridurle o in cerchio o in qual si voglia altra figura regolare. E perché ogni rettilineo si risolve in triangoli, quando noi sapremo costituire un quadrato eguale a qual si voglia triangolo, costituendo noi separatamente quadrati particolari eguali a ciaschedun triangolo ne i quali il rettilineo dato si risolve, e poi, con l'operazione X riducendo tutti questi quadrati in un solo, sarà, come è manifesto, ritrovato il quadrato eguale al proposto rettilineo; il qual quadrato col mezo delle Linee Tetragoniche potremo ad arbitrio nostro convertire in un cerchio, in un pentagono, o in altra figura rettilinea regolare. Si è dunque la resoluzione del presente quesito ridotta a dover noi trovare un quadrato eguale a qual si voglia triangolo proposto; il che con modo facilissimo si averà dal lemma seguente.

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LEMMA PER LE COSE DETTE DI SOPRA.

Siaci dunque proposto di dover costituire un quadrato eguale al dato triangolo ABC. Pongansi da parte due linee ad angoli retti DE, FG: dipoi con un compasso da quattro punte, che da una parte apra il doppio dell'altra, fermata nell'angolo A una delle maggiori aste, slarghisi l'altra sin che, girata intorno, rada la linea opposta BC; dipoi voltando il compasso, notisi con le aste più brevi la distanza FH, che sarà la metà della perpendicolare cadente dall'angolo A sopra il lato opposto BC. Il che fatto, prendasi pure con le maggiori aste la linea BC, la quale si trasporti in FI; e fermata una delle maggiori aste nel punto I, slarghisi l'altra sino al punto H; e volgendo il compasso, senza stringerlo o allargarlo, segnisi con le punte della metà la distanza IK; e fermata una di queste punte in K, taglisi con l'altra la perpendicolare FG nel punto L: ed averemo la linea LF, lato del quadrato eguale al triangolo ABC.

Ma notisi che, se bene aviamo messa questa operazione fatta linealmente senza lo Strumento, non è però che sopra lo Strumento ancora non si possa facilissimamente ritrovare. Imperò che, quando vorremo ridurre qualunque triangolo in quadrato, come, per essempio, il triangolo ABC, allora, presa dall'angolo A la perpendicolare cadente sopra il lato opposto BC, considereremo sopra la scala Aritmetica quanti punti contenga, e trovato contenerne, v. g., 45, applicheremo questa distanza trasversalmente al 45 dalle Linee Geometriche; pigliando poi la metà della linea BC, considereremo parimente quanti punti della medesima scala Aritmetica essa comprenda, e trovato contenerne, per essempio, 37, piglieremo trasversalmente dalle Linee Geometriche la distanza tra essi punti 37; la quale ci darà la linea LF, il cui quadrato sarà eguale al triangolo ABC.

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DELLE LINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA DELLE PARTI DEL CERCHIO E DELLE FIGURE CONTENUTE DA PARTI DI CIRCUNFERENZE O DA LINEE RETTE E CURVE INSIEME.

Restano finalmente le due Linee Aggiunte, così dette perché aggiungono alle Linee Tetragoniche quello che in esse potria desiderarsi, cioè il modo di riquadrare le porzioni del cerchio e le altre figure che nel titolo si sono dette e più distintamente di sotto si esplicheranno. Sono queste linee segnate con due ordini di numeri, de i quali lo esteriore comincia dal punto segnato con questa nota , seguitando poi li numeri 1, 2, 3, 4, sino in 18; l'altro ordine interiore comincia da questo segno , seguitando poi 1, 2, 3, 4, etc., pur sino a 18: col mezo delle quali linee potremo primamente riquadrare qual si voglia porzione di cerchio propostaci, la quale però non sia maggior di mezo cerchio. E l'uso, acciò meglio s'intenda, con l'essempio s'esplicherà.

Vogliamo, v. g., trovare il quadrato eguale alla porzione del cerchio ABC.

Dividasi la sua corda AC nel mezo, nel punto D, e presa con un compasso la distanza AD, s'accomodi, aprendo lo strumento, alli punti segnati ; e lasciato lo strumento in tale stato, prendasi l'altezza della porzione, cioè la linea DB, e veggasi a quale de i punti dell'ordine esteriore tale altezza s'accomodi, che sia, per essempio, alli punti segnati 2.2: il che fatto, doviamo con un compasso prender subito l'intervallo tra li punti 2.2 dell'ordine interiore, e sopra una linea di questa grandezza si deve formare il quadrato; che sarà eguale alla porzione ABC. E quando avessimo una superficie contenuta da due porzioni di cerchio simile alla presente figura ABCD, potremo facilmente ridurla in quadrato tirando la corda AC, dalla quale essa figura in due porzioni di cerchio vien divisa; dipoi, per la regola posta di sopra, si troveranno due quadrati eguali alle due porzioni separate, e questi, con l'intervento dell'operazione X, si ridurranno in un solo: e sarà tutto il fatto.

E con non dissimile operazione potrassi riquadrare ancora il settore del cerchio: perché tirata la corda sotto la sua circonferenza sarà tagliato in una porzione di cerchio ed in un triangolo; le quali due parti, per le cose di sopra insegnate, potranno facilmente ridursi in due quadrati, e quelli poi in un solo.

Resta finalmente che mostriamo come le medesime linee ci possin servire per quadrare la porzione maggiore di mezo cerchio, il trapezio contenuto da due rette e due curve, simile a quello della figura appresso ABCD, e la lunula simile alla X; le quali tutte operazioni hanno la medesima resoluzione. Per ciò che, quanto alla porzione maggiore del cerchio, se noi quadreremo la rimanente porzione minore, al modo di sopra insegnato, e tale quadrato caveremo dal quadrato eguale a tutto 'l cerchio, il quadrato eguale al rimanente sarà ancora, com'è manifesto, egual alla maggior porzione del cerchio. Parimente, di tutta la porzione BAFDC trovatone il quadrato eguale, e da esso trattone il quadrato eguale alla porzione AFD, il quadrato rimanente pareggerà il trapezio. E similmente procedendo nella lunula X, tirata la comune corda delle due porzioni di cerchio, si prenderanno separatamente i quadrati ad esse porzioni eguali; la differenza de i quali sarà il quadrato eguale alla lunula. Come poi delli due quadrati proposti si possa trovare la differenza ridotta in un altro quadrato, si è di sopra, nell'operazione XI, con l'intervento delle Linee Geometriche, dichiarato.

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