Componenti di scala
L’idea che regge il modello è quella di ricostruire una superficie interpolante i punti che rappresentano i dati raccolti e studiare i coefficienti del polinomio che la identifica matematicamente.
La sua espressione algebrica è del tipo:
Z=Si Sj aij Xi Yj
dove X e Y rappresentano le coordinate geografiche e Z l’intensità del fenomeno misurata, aij sono i coefficienti del polinomio, le componenti di scala.
Il calcolo dei coefficienti viene eseguito con un software (che mettiamo a disposizione) che applica in maniera inversa l’equazione sopra descritta; riceve infatti in ingresso i dati a disposizione (X,Y e Z) e restituisce i coefficienti aij.
Il programma permette di scegliere il tipo di superficie interpolante e l’ordine del polinomio (dal primo al quarto grado). Nello specifico faremo riferimento alla superficie polinomiale lineare, avendo così quattro casi:
Superficie lineare : Z = a + b X + c Y
Superficie quadratica : Z = a + b X + c Y + dX2 + eY2 + f XY
Superficie cubica : Z = a + b X + c Y+ d X2 + e Y2 + f XY + g X3 + h X2Y + iXY2 + l Y3
Superficie di IV grado : Z = a + b X + c Y + d X2 + e Y2 + f XY + g X3 + h X2Y+ i XY2 + l Y3+ m X4 + n X3Y + o X2Y2 + p XY3 + q Y4
Per quello che riguarda l’analisi vera e propria delle componenti di scala ricordiamo che l’effetto dei singoli termini può essere riassunto nello schema seguente:
Ogni elemento della figura rappresenta il contributo della componente associata: la zona chiara rappresenta dei valori inferiori alla media, quella scura valori superiori. Un segno positivo della componente di scala conferma l’andamento dell’elemento.
L’andamento è tanto più marcato quanto più è elevata in valore assoluto la componete associata; per esempio: la componente “b” produce un piano inclinato lungo la direzione verticale con pendenza proporzionale al suo valore.
Come già detto, è utile affiancare a questa analisi una visualizzazione delle superfici: darà un’idea più intuitiva del fenomeno.
Dal momento che abbiamo a disposizione tutti i termini della funzione questa operazione può essere fatta con una qualunque applicazione grafica. Nella sezione “applicazione” forniremo un foglio di lavoro “excel” preimpostato che offre questa possibilità.
La densità di popolazione di una regione, la dispersione di un inquinante nell’atmosfera, le precipitazioni meteorologiche, sono tutti fenomeni per i quali spesso esiste una raccolta di dati registrati in singoli punti (dati di un censimento, stazioni di rilevamento, ecc.).
All’aumentare del numero di punti di rilevamento diventa sempre più difficile intuire immediatamente il fenomeno a livello globale.
Il metodo che proponiamo vuole essere uno strumento che aiuti a visualizzare ed analizzare queste situazioni: così come su un piano cartesiano una serie di punti può essere interpolato da una curva (fitting), su uno spazio possiamo pensare di usare, operando in modo analogo, una superficie descritta matematicamente da un polinomio in due variabili, X e Y, che rappresentano le coordinate geografiche.
Condensare una informazione molto complessa in una equazione matematica ci fornisce uno strumento che la rende analizzabile, visualizzabile e confrontabile.
Il metodo delle componenti di scala riguarda appunto la determinazione e lo studio dei coefficienti del polinomio stesso. Da questa analisi saremo in grado quindi di evidenziare informazioni quali l’intensità media del fenomeno, il suo trend in una direzione del piano geografico, l’intensità dei suoi massimi e minimi e come questi emergono rispetto alla distribuzione di base, la velocità con la quale si attenua rispetto alle possibili fonti.
Nel contesto dell’analisi territoriale questo metodo trova valida applicazione su scala provinciale e regionale.
Data la semplicità con la quale questo metodo opera l’analisi non è pensabile applicarlo con lo scopo di trarre risultati altamente precisi o di utilizzarlo per la previsione o l’estrapolazione; il suo scopo principale, come per la maggior parte delle analisi statistiche, è piuttosto quello di fornire una visione di insieme che chiarisce nel dettaglio più l’aspetto qualitativo che quello quantitativo.
Per lo stesso motivo questo fenomeno può adattarsi bene allo studio di fenomeni dotati di dinamiche lente poiché non sono previste variabile temporale, risultando così impossibile modellizzare i meccanismi che determinano le trasformazioni di stato.
Ricordiamo ancora una volta che i risultati prodotti da questo metodo devono essere considerati con l’approssimazione dovuta ai metodi statistici.
La minimizzazione del residuo operata per il calcolo dei coefficienti polinomiali tende a diminuire la precisione della descrizione della situazione a livello locale per far emergere un trend globale.
È quindi nell’ottica della ricerca delle caratteristiche salienti del fenomeno che questo metodo deve essere applicato.
È importante notare che una superficie di primo grado ben descrive solo trend continui: si vede ad esempio, nell’esercizio che alleghiamo, come questo tipo di superficie non può tenere conto del massimo raggiunto sopra l’area milanese e quindi mostra una densità crescente verso zone come la Lomellina (area a forte componente rurale), dato sicuramente errato.
Per avere una valutazione più completa bisogna operare un confronto con le superfici di grado più elevato e vedere se queste confermano o smentiscono la prima analisi, non si può infatti utilizzare una singola superficie sperando che questa condensi da sola tutta l’informazione presente potenzialmente nella formulazione matematica.
Inoltre molto raramente si opererà su zone con confini geometricamente regolari, quindi la visualizzazione si estenderà su aree in cui c’è assenza di dati, cioè di informazione. Su queste zone si avranno le distorsioni più evidenti, e vanno chiaramente ignorate. Questa caratteristica sarà tanto più marcata quanto maggiore sarà la complessità del polinomio utilizzato a causa dell’effetto di ampliamento dovuto ai termini di grado massimo.
M.Verri, A.Barchielli, "MODELLI DI PREVISIONE E REGRESSIONE LINEARE", Edizioni CUSL , Milano 1998
A.M.Mood ,F.A.Graybill , D.C.Boes, "INTRODUZIONE ALLA STATISTICA", McGraw – Hill Italia , Milano 1988
S.M.Ross, "INTRODUCTION TO PROBABILITY AND STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTIST", Wiley , New York 1987
L.Marelli, "INTERPOLAZIONE POLINOMIALE PER MEZZO DI RETI NEURALI", Tesi di laurea 1998, (disponibile presso dipartimento DISET del Politecnico di Milano)
Link utili
http://www.amara.com./science/science.html
questo sito è molto ampio dal punto di vista degli argomenti trattati e vi sono riferimenti anche ad altri modelli sviluppati nella web page
http://bbq.ncgia.ucsb.edu/~vanzuyle/176b/98lab4.html
in questo sito troverete i comandi per realizzare delle applicazioni grafiche dalla shell UNIX
http://www.geog.ubc.ca/courses/klink/gis.notes/ncgia/u40.html#SEC40.2.1
http://www.isca.adelaide.edu.au/kea/gisrs/gisrsrc/courses/gis/ncgia/u41.html#SEC41.4.
http://www.cedarlon.demon.coiuk/eacm/ApplObj/Scale.html/
questi ultimi tre siti sono interamente dedicati all’interpolazione spaziale
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