Sia data la funzione , se ne vuole disegnare il grafico dopo averne studiato le proprietà. Per questo scopo si può seguire uno schema come questo:

1) Ricerca del dominio
2) Studio del segno
3)Calcolo dei limiti
4)Ricerca degli asintoti
5)Intersezione con gli assi
6)Studio della derivata prima
7)Studio della derivata seconda.

1)Ricerca del dominio
Si osserva che il [?] deve essere diverso da zero e quindi bisogna imporre la condizione: da cui segue e perciò il dominio è: .

2)Studio del segno
Per studiare il segno si impone la condizione: e quindi studiando il segno del numeratore e del denominatore si ottiene y(x)>0 per [?] .Rappresentando graficamente questi dati nel piano xy,escludendo quindi le parti di piano che non possono contenere il grafico, si ottiene: .

3)Calcolo dei limiti
I limiti vanno calcolati nei punti di accumulazione del dominio che in questo caso sono: [?], [?] e [?].
Si ha subito:
[?]
[?]
[?]
[?]

4)Ricerca degli asintoti
Dal calcolo dei limiti si osserva subito che la retta [?] è asintoto [?] e che la funzione non ammette asintoti [?]. Quindi è necessario verificare se esiste qualche asintoto [?]. Trattandosi di una funzione razionale senza valori assoluti ci si può limitare al solo studio in +oo. Perciò si calcolerà il per sapere se esiste il [?] m e in questo caso si calcolerà l'intercetta q con il . Premesso ciò, il primo limite è: [?] e perciò m= , quindi ha senso calcolare l'intercetta q con il secondo limite che in questo caso si specifica in che, riducendo allo stesso denominatore diventa: = [?]. Perciò l'asintoto obliquo ha equazione [?].

5)Intersezioni con gli assi
Si trovano mettendo a sistema l'equazione della funzione con quella dell'asse x e con quella dell'asse y, però si deve osservare che la funzione non possiede intersezioni con l'asse [?] perchè lo 0 non appartiene al dominio. Quindi basta risolvere solo il sistema:
che ammette come soluzione il punto: ( , ).

6)Studo della derivata prima
Lo studio del [?] della derivata prima permette di stabilire la monotonia della funzione e gli eventuali punti di massimo e di minimo. Calcolandone l'espressione si ha: e studiandone il segno si ottiene il grafico:
da cui si evince che è un punto di minimo. L'ordinata di questo punto si ottiene calcolando ottenendo le seguenti coordinate: .

7)Studio della derivata seconda
Lo studio del [?] della derivata seconda permette di individuare la concavità della funzione e gli eventuali punti di flesso. La sua espressione è: e si conclude subito che la concavità è rivolta sempre verso l'alto, dato che il segno della derivata prima è sempre positivo, ciò comporta anche che non vi sono [?].

Il grafico della funzione è:

Esercizio guida