La geometria come successione di deduzioni logiche

Analizziamo la nota proprietà di un rombo che dice:

"in un rombo le diagonali sono perpendicolari"

Un enunciato di questo tipo si chiama teorema.

Oltre all'enunciato, un teorema comprende l’ipotesi, la tesi, la dimostrazione.

a) L’ipotesi è ciò che si suppone di sapere , le proprietà che già si conoscono;

b) la tesi è ciò che si vuole dimostrare;

c) la dimostrazione, è quel processo logico che dall’ipotesi porta alla tesi.

Nel teorema precedentemente enunciato abbiamo:

        

Ipotesi: (ABCD è un rombo)
Tesi: AC è perpendicolare a BD

Dimostrazione:
se (ABCD) è un rombo, allora è un parallelogramma. Ma in un parallelogramma, le diagonali si dividono scambievolmente a metà (teorema precedente),  quindi DO=OB.

Un rombo ha i lati uguali (definizione di rombo), allora CD=BC, quindi il triangolo BCD è isoscele.

Nel triangolo BCD, per quanto detto prima, CO è la mediana (definizione di mediana).

Ma in un triangolo isoscele, la mediana relativa alla base, coincide con l’altezza (teorema precedente).

Se CO è l’altezza, AC è perpendicolare a BD.  c.v.d.

La dimostrazione di questo teorema utilizza definizioni e teoremi precedenti.
Anche i teoremi precedenti hanno richiesto una dimostrazione, con l'utilizzo di teoremi ancora precedenti.

Per non instaurare una catena infinita, bisogna accettare alcune proprietà degli enti geometrici,
senza darne una dimostrazione formale. Tali proprietà si chiamano assiomi o postulati.

Anche le definizioni che illustrano le figure geometriche richiedono, per essere formulate, definizioni precedenti;
pertanto bisogna accettare di conoscere alcune figure solo attraverso le loro proprietà, senza darne una definizione formale.
Queste figure si chiamano enti fondamentali o concetti primitivi.

 

Concetti primitivi, assiomi e definizioni fondamentali

Un concetto primitivo è un ente geometrico che si conosce mediante le sue proprietà senza che se ne dia una definizione formale.
I concetti primitivi fondamentali sono: il punto, la retta, il piano e lo spazio.

Una definizione è una presentazione di un ente geometrico.

Esempi:

Il segmento è una parte di retta delimitata da due punti;

A e B si dicono "estremi del segmento"

Un angolo è una parte di piano delimitata da due semirette aventi la stessa origine.

l'origine comune O è detto "vertice" dell'angolo;

le semirette a e b sono dette "lati" dell'angolo.

 

 Sono detti assiomi o postulati, le proprietà di una figura geometrica, che si accettano senza che se ne dia una dimostrazione.

Esempi:

Per due punti passa una e una sola retta.

 

Per un punto passano infinite rette.

Quinto postulato di Euclide:

data una retta r e dato un punto P, esiste una e una sola retta s passante per P e parallela ad r .

 

  Gli angoli e il teorema degli angoli opposti al vertice.

 

Un angolo è una parte di piano, delimitata da due semirette aventi la stessa origine.

Da due semirette si hanno due angoli:

-CONVESSO (parte viola);

-CONCAVO (parte celeste);

Se un testo non dice niente, si intende l'angolo convesso.

 

Due angoli si dicono consecutivi se hanno un lato in comune.

Nella figura s è il lato comune ad entrambi gli angoli.

 

Due angoli si dicono adiacenti quando hanno un lato in comune e gli altri due appartenenti alla stessa retta. Due angoli adiacenti insieme formano un angolo piatto.

Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati dell'uno si ottengono prolungando i lati dell'altro.

Teorema :Se due angoli sono opposti al vertice, allora essi sono uguali.

 Per la dimostrazione di questo teorema vedere "Introduzione alla geometria razionale"

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