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Isometrie dispari

La definizione di isometrie dispari data assieme a quella di isometrie pari

Le isometrie dispari sono tutte e solo quelle che si ottengono componendo tre simmetrie assiali oppure le simmetrie assiali (vedi teorema 2).

I tre assi di simmetria possono essere:

a)    paralleli tra loro
b)    incidenti in uno stesso punto

c)    due paralleli e il terzo perpendicolare (glisso-simmetria)
d)    due parallei e il terzo incidente ma non perpendicolare
e)    incidenti a due a due in tre punti distinti

Dimostreremo che i primi due casi (in blu) si riducono ad una simmetria assiale mentre i casi in verde si riducono al terzo; quest'ultimo individua un tipo di isometria che non abbiamo ancora visto la glisso-simmetria.

Sintetizzando potremo allora dire che le possibili isometrie sono quattro: le simmetrie assiali, le rotazioni, le traslazioni, le glisso-simmetrie (le simmetrie centrali si possono considerare rotazioni di un angolo piatto).


TEOREMA (caso a)
Il prodotto di tre simmetrie assiali con assi parallei una simmetria assiale

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Alla trasformazione (ab)c possimo sostituire (a'b')c con b'=c e con a' e b' scelti in modo da individuare la stessa traslazione determinata da a e b:
1   a' e b' devono distare come a e b,
2   a' e b' devono essere paralli ad a e b
3   a' e b' devono essere assegnati con lo stesso ordine di a e b
vedi  nota  del  teorema relativo al prodotto di due simmetrie assiali con assi paralleli (n 1).

ma (a'b')c=a(b'c) perch il prodotto tra applicazioni associativo,


pertanto, poich  b'c la trasformazione identica, avremo   a'(b'c)=a'   c.v.d..

TEOREMA (caso b)
Il prodotto di tre simmetrie assiali con assi incidenti in uno stesso punto una simmetria assiale
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Alla trasformazione (ab)c possimo sostituire (a'b')c con b'=c e con a' e b' scelti in modo da individuare la stessa rotazione determinata da a e b:
1   a' e b' devono determinare un angolo congruente a quello determinato da a       e b,
2   a' e b' devono intersecarsi nel punto O comune ad a e b
3   a' e b' devono essere assegnati con lo stesso ordine di a e b
vedi  nota  del  teorema relativo al prodotto di due simmetrie assiali con assi incidenti (n 2).

ma (a'b')c=a(b'c) perch il prodotto tra applicazioni associativo,

pertanto, poich  b'c la trasformazione identica, avremo   a'(b'c)=a'   c.v.d..

DEFINIZIONE (caso c)
Il prodotto di tre simmetrie assiali con i primi due assi  paralleli e il terzo perpendicolare una traslazione seguita da una simmetria assiale con asse parallelo al vettore traslazione, una isometria siffatta prende il nome di glisso-simmetria.
treassi3.gif (2016 byte) (ab)c=tc
TEOREMA (caso d)
Il prodotto di tre simmetrie assiali con i primi due assi paralleli e il terzo incidente, ma non perpendicolare ai primi due, si pu ridurre ad una glisso-simmetria

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Spostando b e c in modo da mantenere il punto di intersezione e l'angolo tra le due rette (anche in senso di rotazione) si passa dalla situazione A alla situazione B.
a(bc)=a(b'c')

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Spostando e b' in modo da disporre a' parallelamente a c' e conseguentemente b" parallelamente a c' si passa dalla situazione B alla situazione D.
a(b'c')=(ab')c'=(a'b")c'

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Infine spostando b" e c' in modo da  disporre b''' parallelamente ad a' e conseguentemente c" perpendicolarmente a b''' si perviene alla situazione E, cio ad una glisso-simmetria
(a'b")c'=a'(b"c')=a'(b'''c")

TEOREMA (caso e)
Il prodotto di tre simmetrie assiali con assi incidenti a due a due si pu ridurre al caso del teorema precedente cio a una glisso-simmetria

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Basta spostare b in b' parallelo ad a e c in c' in modo da mantenere ...