La birifrangenza

La dispersione dei modi di polarizzazione (PMD) è causata da deboli asimmetrie e sollecitazioni non uniformi cui è sottoposto il nucleo della fibra ottica, che determinano una variazione locale dell'indice di rifrazione, e pertanto rendono il mezzo birifrangente.

Tipicamente la birifrangenza di un mezzo è influenzata dal casuale accoppiamento dei modi di polarizzazione. Per capire meglio come si sviluppa la PMD in fibra ottica, potremmo modellare una tratta generica con tratti di fibra a birifrangenza costante, arbitrariamente accoppiati tra loro.

La birifrangenza viene espressa come la differenza tra gli indici di rifrazione, o delle costanti di propagazione $\beta$ sui due assi del materiale,

$$\Delta \beta =\beta_{s}-\beta_{f}=\frac{\omega n_{s}}{c}-\frac{\omega n_{f}}{c}=\frac{\omega \Delta n}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta n$$ (2.1.1)

dove con $\omega$ si indica la frequenza angolare della luce, e con $c$ la velocità della luce nel vuoto, e $\Delta n$ è la differenza tra gli indici di rifrazione tra l'asse veloce e l'asse lento, mentre $\lambda$ è la lunghezza d'onda della luce nel vuoto.

Figura 2.1: Evoluzione dello stato di polarizzazione di un onda polarizzata rettilineamente in ingresso a un mezzo uniformemente birifrangente. Si evidenzia il significato della lunghezza di battimento.

La birifrangenza cambia lo stato di polarizzazione (SOP) della luce mentre attraversa il mezzo, tuttavia esistono due autostati ortogonali (PSP) che mantengono inalterato il loro SOP. Ogni generico stato di polarizzazione può essere scomposto rispetto a questi autostati, chiamati PSP, Principal States of Polarization. Considerando un mezzo a birifrangenza costante i PSP coincidono con gli assi di birifrangenza del mezzo stesso.

Se il segnale in ingresso al materiale birifrangente è polarizzato rettilineamente a $\pi/4$ rispetto agli assi di birifrangenza, i due assi saranno eccitati allo stesso modo. Il ritardo di fase tra i due campi ortogonali dovuto al comportamento birifrangente del mezzo, determina l'evoluzione periodica dello stato di polarizzazione.

Le fasi dei campi trasversali determinano invece, attraverso la loro differenza, l'evolvere dello stato di polarizzazione al trascorrere del tempo e al propagarsi dell'onda elettromagnetica. Pertanto la polarizzazione di un campo elettromagnetico che si propaga lungo una fibra ottica varia periodicamente con la differenza di fase delle due componenti; differenza di fase che assume valori tra 0 e $2\pi$ e che è strettamente legata alla velocità di propagazione di ciascun campo polarizzato in direzione $x$ e $y$.

Si definisce come lunghezza di battimento la lunghezza di fibra tra due punti aventi la medesima polarizzazione. La misura della lunghezza di battimento offre informazioni riguardo la velocità con cui evolve la polarizzazione, e quindi sulle relative velocità di propagazione dei campi trasversali, permettendo di quantificare il comportamento birifrangente del tratto di fibra in questione. Nelle comuni fibre per telecomunicazioni la birifrangenza si presenta come un fenomeno aleatorio, e la lunghezza di battimento assume valori tipicamente variabili tra pochi metri fino al centinaio di metri [15].

Figura 2.2: Effetto della propagazione in un mezzo uniformemente birifrangente su segnale in ingresso polarizzato linearmente. Si evidenzia il ritardo (DGD) accumulato in propagazione dal segnale che si propaga sull'asse lento.

Alla differenza tra le velocità di fase indicate in 2.1.1 è generalmente associata una differenza tra le velocità di gruppo che si presenta come un ritardo tra le componenti ortogonali che viaggiano sugli assi di birifrangenza. Questa differenza tra le velocità di gruppo prende il mome di DGD, per Differential Group Delay, e viene indicato con $\Delta \tau$, ottenuto con

$$\Delta \tau=\frac{L}{\Delta v_g}=\frac{d \Delta \beta}{d \omega} L=\left( \frac{\Delta n}{c}+\frac{\omega }{c}\frac{d \Delta n}{\omega} \right) L$$ (2.1.2)

dove con $\Delta v_g$ si indica la differenza tra le velocità di gruppo dei due modi ortogonali.

Analizzando la 2.1.2 rispetto alla frequenza angolare $\omega$ si vede che nel caso di mezzo uniformemente birifrangente con segnale di ingresso linealmente polarizzato a $\pi/4$ rispetto ai PSP, la differenza di fase in uscita è $\phi=\Delta \beta L$.

In base alla 2.1.2 si può scrivere allora il DGD nella forma

$$\Delta \tau==\frac{d \Delta \beta}{d \omega} L=\frac{\Delta \phi }{\Delta \omega} ,$$ (2.1.3)

evidenziando così la dipendenza del DGD dalla frequenza.

Figura 2.3: Distorsione di un impulso che si propaga in un mezzo birifrangente con accoppiamento dei modi. Il segnale in ingresso (punto 1) viene modificato dal DGD accumulato nel tratto a birifrangenza costante, l'accoppiamento tra i due modi (punto 4) determina l'ulteriore distorsione del segnale.

Generalmente in fibra ottica il fenomeno della birifrangenza è accompagnato dall'accoppiamento dei modi di polarizzazione. Infatti se la birifrangenza locale determina la separazione dell'impulso di partenza in due componenti separate da un certo DGD, tali modi possono accoppiarsi tra di loro per effetto delle dissimmetrie che possono essere presenti nel mezzo, che in generale non può essere considerato a birifrangenza costante.

Le reali fibre ottiche per telecomunicazione sono debolmente birifrangenti, tuttavia l'orientazione dei locali assi di birifrangenza può essere considerata a distribuzione uniforme lungo la fibra, che pertanto viene modellata come successione di tratti a birifrangenza uniforme, e distribuzione uniforme nell'intervallo $[0, 180]$ degli assi di birifrangenza.

Per effetto della birifrangenza e del casuale accoppiamento dei modi il segnale trasmesso subisce distorsione e allargamento e pertanto l'effetto è simile a quello dovuto alla dispersione cromatica. Da qui il nome di Polarization Mode Dispersion.