Il centro della circonferenza F ha coordinate (0,a). Il punto A (0,2a).
La retta AL tangente al cerchio di centro F.
Dato un fascio di rette che si intersecano in O, sia OL una retta del fascio. Essa interseca la
circonferenza in O e in C, mentre interseca la tangente in L.
Il punto M ha l'ascissa di L e l'ordinata di C. L'insieme dei punti M ottenuti al variare della retta
del fascio di centro O, defisce la versiera di Agnesi.
La costruzione della versiera di Agnesi è molto semplice con GeoGebra.
Dopo aver disegnato la circonferenza di centro F e la retta tangente in A, si può prendere il punto C vincolato a
stare su questa circonferenza.
Si disegna quindi la retta per OC e si trova l'intersezione L.
Ciò fatto, basta definire il punto M con l'ascissa di L, che si indica con x(L), e l'ordinata di C che si indica con y(C). Basterà scrivere M=(x(L),y(C))
Equazione della versiera con la geometria analitica
Assegniamo l'ascissa di L che sarà α. Le coordinate di L sono ( α , 2a).
L'equazione della retta OL sarà:
L'equazione della circonferenza di centro F sarà:
Risolviamo il sistema retta-circonferenza:
Otteniamo:
Al variare di α ascissa di L, le coordinate di M, punto della versiera saranno:
Ma allora si può scrivere l'equazione della versiera come:
Equazioni parametriche della versiera con la trigonometria
Assegniamo l'angolo FOC=θ. Gli angoli BCO e LCM sono opposti al vertice e complementari di θ. Ma allora l'angolo CLM=θ=BCO. Inoltre LG=2a.
Nel triangolo rettangolo OLG, si ha che il cateto OG è uguale all'altro cateto LG per la tangente dell'angolo opposto:
Questa è l'ascissa di M punto della versiera di Agnesi.
Bisogna adesso calcolare l'ordinata di M in funzione di θ.
Il triangolo OAC è rettangolo in C:
