Assegnati i raggi di base r1 ed r2 e l'altezza di un tronco di cono, vediamo come calcolare il suo momento di inerzia.
Il tronco di cono è dato da ABCD, l'altezza h corrisponde a OG, il raggio r1 a OB e il raggio a GC.
Prendiamo VH=x. Dobbiamo esprimere HP, raggio della sezione in funzione di r1, r2 e h.
Indichiamo h1=VO e h2=GV. In base alla similitudine dei triangoli:
Troviamo h1 e h2:
Troviamo HP:
Il disco di raggio HP e altezza dx avrà volume dato da:
Quindi il mometo di inerzia del disco di raggio HP sarà:
Dobbiamo calcolare l'integrale:
Sostituendo alla x le espressioni per h1 e h2 trovate prima:
Dobbiamo trovare la densità del tronco di cono; per fare ciò prima calcoliamone il volume:
Sostituendo h1 e h2 si ha:
Sostituendo la densità si ottiene:
Quest'ultima espressione si può semplificare ma diventa più lunga.
Momento di inerzia tronco di cono secondo procedimento
er trovare il momento di inerzia del tronco di cono si può percorrere la strada di considerare i due coni
la cui "differenza" sia il tronco di cono preso in esame. Calcolati i momenti di inerzia dei due coni,
per sottrazione si trova il momento di inerzia del tronco di cono.
Il tronco di cono è dato da ABCD, l'altezza h corrisponde a OG, il raggio r1 a OB e il raggio a GC.
Assegnare il tronco di cono vuol dire assegnare r1, r2, h ed M massa del tronco.
I due coni da prendere in considerazione avranno raggio di base, altezza e massa indicati come
r1, h1, m1 e l'altro r2, h2, m2.
Prima sono state calcolate le altezze:
Calcoliamo le masse come densità moltiplicato volume:
Calcoliamo il momento di inerzia utilizzando la formula per il cono:
