Un esempio facile ma sorprendente del metodo degli indivisibili
”Principio di Cavalieri": se due regioni
piane tagliate da un sistema di rette
parallele intercettano, sopra ognuna di
queste, corde uguali, le loro aree sono
uguali. Se le corde corrispondenti hanno
un rapporto costante, lo stesso rapporto
intercorre fra le aree.
Lucio Lombardo Radice nel considerare il metodo degli indivisibili di Bonaventura Cavalieri scrive:
Si tratta della coraggiosa presa in considerazione dell’infinito, anzi di una delle prime analisi logiche e matematiche rigorose dell’infinito.[…]
Cavalieri […] getta le prime fondamenta di una trattazione matematica degli insiemi infiniti. Il pensiero più profondo del Nostro è, crediamo, la sua concezione e definizione di un insieme infinito, come «molteplicità» di infiniti elementi, raccolti mentalmente in base a una loro proprietà caratteristica. Cavalieri è, ci sembra, il primo matematico, anzi il primo pensatore, che distingua nettamente tra somma di elementi di un continuo, nel senso della misura, e insieme di elementi del continuo stesso. Non asserisce mai che un continuo è somma dei suoi indivisibili (punti, segmenti, o regioni piane); dice soltanto che tutti i piani di un solido sono insiemi perfettamente definibili e pensabili, benché composti da infiniti elementi: definibili e pensabili perché esiste in ogni caso un criterio preciso che ci permette di dire se un elemento appartiene o no all’insieme in questione. Se si pensa che una siffatta definizione di «molteplicità» infinita (insieme infinito) si fa comunemente risalire a Bernard Bolzano, e precisamente ai suoi Paradoxien des Unendlichen, che sono del 1848, si comprende quanto profondo e geniale sia stato il pensiero di Bonaventura Cavalieri, che alla moderna impostazione della analisi dell’infinito pervenne con due secoli e più di anticipo sulla mentalità matematica, e filosofica, dominante e ufficiale”.
Il numero a è il semiasse maggiore dell'ellisse e il raggio della circonferenza. Il numero b
è il semiasse minore dell'ellisse.
Utilizzando le equazioni dell'ellisse e della circonferenza, si dimostra subito che il rapporto
fra FG e FH è costantemente uguale a b/a.
Per rappresentare F, si scelga un punto vincolato a stare sull'asse x. Muovendo F varieranno
di conseguenza G e H; ma il loro rapporto resterà con ottima approssimazione uguale a b/a:
FG : FH = b : a
In base a quanto detto sul metodo degli indivisibili:
