Per trovare l'area compresa fra la cicloide e l'asse delle x, si può ricorrere agli "indivisibili"
come trovò Torricelli.
”Principio di Cavalieri": se due regioni
piane tagliate da un sistema di rette
parallele intercettano, sopra ognuna di
queste, corde uguali, le loro aree sono
uguali. Se le corde corrispondenti hanno
un rapporto costante, lo stesso rapporto
intercorre fra le aree.
Di seguito la dimostrazione di Torricelli sviluppata grazie a GeoGebra.
Partiamo dal seguente grafico:
ALBC è un arco di cicloide. FEDC è una semicirconferenza in cui il punto C ruota in senso antiorario
mentre il centro G trasla. Alla fine C raggiungerà A che si trova ad una distanza da F uguale alla
lunghezza della semicirconferenza.
I punti H e I hanno la stessa distanza rispettivamente da C e da F. Da H e da I si conducono
le parallele all'asse x e si trovano i punti di intersezione con la cicloide e con la semicirconferenza.
Per costruire la cicloide si possono seguire due strade:
o comporre un moto rettilineo uniforme e un moto circolare uniforme
oppure utilizzare le equazioni parametriche Curva(-r (θ + sin(θ)), r (1 + cos(θ)), θ, 0, π)
In effetti, nel primo caso essendo la cicloide definita come luogo, il GeoGebra non è capace di trovare le intersezioni, nel caso invece delle equazioni parametriche, GeoGebra trova le intersezioni.
Proseguiamo nella elaborazione:
Bisogna traslare la semicirconferenza in modo tale che D vada a sovrapporsi a B punto di intersezione fra cicloide e parallela par H.
Per fare ciò definiamo il vettore che vada da D a B. Una seconda traslazione porterà E in L e ci
vuole il vettore che va da E a L.
Congiungiamo A con C. Il triangolo AFC rettangolo in F, ha un cateto FC di lunghezza 2r e un cateto
AF di lunghezza data da πr. E' facile calcolarne l'area.
Per una dimostrazione più chiara, conviene eseguire una ulteriore traslazione della semicirconferenza iniziale in un punto W qualunque.
Come indicato in figura, Torricelli dimostrò che la somma di LU+BR è uguale alla somma di DH+EI.
Al variare della distanza delle due parallele da C e da F, i segmenti LU e BR descriveranno
l'intera area ALBCA, mentre i segmenti DH e EI descriveranno l'intera semicirconferenza: le due figure avranno area uguale.
Per sviluppare la dimostrazione, riportiamo la seguente figura:
Tutte le semicirconferenze sono uguali perchè ottenute per traslazione da una unica.
Inoltre i due segmenti CH e IF sono uguali per costruzione; ma allora saranno uguali i segmenti:
HD=IE=BX=QL
ed anche gli archi: OB=LN=CD=EF
Consideriamo i due triangoli RCH e AUA2; essi sono uguali perchè hanno gli stessi angoli ed inoltre CH=IF=UA2.
Si deduce che AU=RC.
Riflettendo sulla definizione di cicloide ci si convince che facendo ruotare la semicirconferenza CDEF, il punto C andrà a coincidere con A come detto prima
la lunghezza della semicirconferenza coinciderà con AF;
ma anche L andrà a coincidere con A e la lunghezza dell'arco LN coinciderà con la lunghezza del segmento AN.
Se l'arco LN è uguale al segmento AN, anche l'arco LM sarà uguale a AF-AN=NF
Analogamente l'arco BP sarà uguale al segmento AP e l'arco rimanente BO sarà uguale al segmento PF.
Dato che l'arco LN è uguale all'arco BO e questo arco è uguale al segmento PF, si deduce che il segmento AN è uguale al segmento PF=OC.
Consideriamo i due triangoli rettangoli ATN e OCS. Essi hanno tutti gli angoli uguali e il cateto AN=OC, e allora risulteranno uguali AT e SC.
Togliendo due segmenti uguali AU=RC da due segmenti uguali che sono AT=SC, si otterrà che UT=SR.
I triangolini UTQ e RXS hanno angoli uguali e ipotenuse uguali, allora UQ=XR.
Scriviamo una catena di ugualglianze di segmenti:
LU+BR=LQ-UQ+BR=LQ-XR+BR=LQ+BX=DH+EI.
Conclusione
Con il metodo degli infivisibili, Torricelli dimostrò che l'area del semicerchio è uguale all'area
della regione piana ALBCA. L'area del triangolo rettangolo ACF, è data da π a2
dato che la base è data da πa e l'altezza da 2a.
L'area delimitata dalla cicloide e dall'asse x è data da una volta e mezza dell'area del cerchio che
genera la cicloide.
