Moto circolare uniforme e moto rettilineo uniforme: la cicloide
Immaginiamo una circonferenza e un suo punto P mentre la circonferenza rotola senza attrito
su di una retta.
Il punto P ruota di moto circolare uniforme attorno un centro C che si muove, a sua volta, di moto
rettilineo uniforme.
Si tratta di simulare le leggi del moto rettilineo uniforme per il punto C e le leggi del
moto circolare uniforme (vedi relativa scheda di lavoro con GeoGebra) attorno il centro C, per un punto P.
Alla fine equazione parametrica della cicloide
Supponiamo di prendere y=1 come la retta su cui rotola la circonferenza.
Definiamo nella riga di comando una variabile t, il tempo; una variabile T il periodo del moto circolare
(maiuscola e minuscola sono due variabili diverse in GeoGebra); prendiamo n la coordinata y
che dovrà avere il centro C.
Di ciascuna variabile visualizzare il cursore (slider) con clic a destra Mostra oggetto. Clic a
destra sullo slider per imporre limiti inferiore (zero) e superiore a ciascuna grandezza. Per il
tempo t conviene prendere un passo piccolo ad esempio 0.02.
Il raggio di rotazione ra sarà dato da ra=n-1
La velocità lungo x con cui si muove il centro C dovrà essere:
vx=2 π ra/T
dato che quando P ruota di un giro attorno a C, C percorre proprio uno spazio 2 π ra nel tempo T. Questo
apparirà più chiaro in seguito alla animazione con GeoGebra.
Si prenda adesso una variabile m= vx t che ci darà la coordinata x di C al variare del
tempo t.
A questo punto si può definire il punto C con C=(m,n).
Provando a far scorrere il tempo t, si dovrebbe visualizzare il moto rettilineo di C.
Ora conviene definire la velocità angolare con: ω= 2 π /T
Nel GeoGebra si ritrovano anche i caratteri greci utilizzati in Fisica.
L'angolo di rotazione è dato da: α=ω * t.
Si defisca una nuova variabile m1= ra * cos(-α) + x(C)
x(C) rappresenta in GeoGebra l'ascissa del punto C. Il segno - prima dell'angolo comporta
la rotazione oraria.
Analogamente per l'ordinata n1= ra * sin(-α) + y(C)
m1 e n1 corrispondono all'ascissa e all'ordinata del punto che ruota di moto circolare uniforme
al variare del tempo.
Finalmente è possibile definire P il punto che ruota: P=(m1,n1)
E' facile disegnare la circonferenza di centro C e passante per P.
Inizialmente si può attivare la traccia di P per visualizzare la curva.
Oppure si può definire il Luogo determinato dal punto P al variare del tempo t.
Particolarmente utile attivare l'animazione per visualizzare dinamicamente il moto
Il punto P nella posizione iniziale.
Equazione parametrica della cicloide
Le equazioni parametriche della cicloide sono relativamente semplici:
x=ra *t - ra * sin(t)
y=ra- ra*cos(t))
t è il parametro. Queste equazioni possono essere inserite nel comando Curva di GeoGebra:
Curva[Espressione, Espressione, Parametro, Valore iniziale, Valore finale]
La prima Espressione si riferisce alla x, la seconda alla y.
Questa curva parametrica corrisponde bene al luogo precedentemente trovato solo che
il punto iniziale è l'origine degli assi. In altre parole è necessario traslare la curva
parametrica perchè si sovrapponga perfettamente al luogo di prima.
Per la traslazione lungo y il ragionamento è immediato:
dato che siam partiti dalla retta y=1 su cui rotola la circonferenza, basta aggiungere 1 alla y
Osservando la figura precedente, si vede che all'istante iniziale le ordinate di C e P
sono uguali. Perchè P giunga alla quota più bassa è necessario che ruoti di -π/2 (-90°).
Ciò avviene quando trascorre un quarto di periodo T/4.
La distanza x percorsa da C nel tempo T/4 determinerà la traslazione lungo x da apportare alla
curva parametrica:
x=vx*t=vx*T/4=2 π ra/T*T/4
semplificando:
x=π*ra/2
Introducendo queste due traslazioni nella Curva parametrica si ha:
Curva[ra t - ra sin(t) + π ra / 2, ra - ra cos(t) + 1, t, 0, 6π]
Questa curva parametrica coincide perfettamente con il luogo prima definito
