Cori d’ogni distanza/attrazione (2014-15)

per pianoforte

Appunti di un incontro musica/matematica, o più precisamente composizione con teoria dei numeri, che si affaccia in molti modi sui principali sistemi musicali: scala temperata, ritmi, durate e tempi metronomici, interpretandoli in modo innovativo e interpretando una tradizione aurea della musica.

I.‘Introduzione: scomposizione in fattori primi’

Le prime 5 pagine del pezzo esplorano, a partire da un C# gravissimo (preso come distanza zero), tutti gli intervalli, con cadenza periodica di 3’’[1]. Sia questi quattro secondi sia gli intervalli sempre crescenti cromaticamente sono suddivisi in parti uguali, quando è possibile, cioè quando gli intervalli sono numeri composti. Non è una grigia ascesa: ogni numero primo è ‘colorato’, oltre che dal suo intervallo di base, da ritmi e figure caratteristiche (una mia interpretazione di ogni ambito e di: divisioni interne nelle potenze di due, oscillazioni più ripetizioni per i 3x, quarta discendente in battere per i 5x, accordo p i 7x (quinte vuote), arpeggio pp i 11x, accordo ff 13x (none minori), ribattuto periodico 17x, ecc in qualsiasi combinazione. Ogni primo si staglia tra numeri composti sempre più densi e complessi come solitaria sorgente di un nuovo carattere. E’ uno studio sull’intermittenza: tra una misura e la successiva ovviamente non vi sono suoni e caratteri comuni, oltre a 0 e 1- e studio sulle relazioni periodiche a ogni distanza (ogni 2, 3… n misure). Già si capiscono ragioni del titolo, Cori di ogni distanza, e attrazione tra intervalli lontani, che creano una rete di rapporti in cui tutto si tiene. Origine la misura 0, cluster di tutti i suoni o prodotto di qualsiasi numero per 0. Queste misure verranno dopo l’introduzione più volte richiamate in diverso ordine: per esempio in retrogrado ma solo i 4x, ecc. In qualche modo formano una genesi di materiale base, con un procedimento che richiama l’accordatura di uno strumento.

A mis. 79 il C# si ‘schioda’ e procede ogni tanto per moto contrario all’ascesa cromatica, fino a che non si raggiunge a 88 il limite dell’estensione pianistica, e si cambia algoritmo o procedimento di trasformazione della rete delle periodicità: lo 0 è posto al G acutissimo, e vi è una discesa cromatica ma molto più rapida (100 suoni al minuto finché tecnicamente possibile).

Tale introduzione mi sono accorto essere parallela all’apertura del madrigale di Luca Marenzio Solo e pensoso i più deserti campi/ vo misurando a passi tardi e lenti (1599), sullo struggente sonetto di Petrarca, che, strana coincidenza, sembra descrivere alla perfezione anche questi miei procedimenti. Anche Marenzio fa muovere la voce superiore lungo la scala cromatica, una nota per misura, prima dal grave all’acutissimo, per poi discendere alla metà esatta.

A pag. 5 metà l’origine si sposta nuovamente, andando al centro esatto della tastiera: tra E e F, e si espongono i suoni/intervalli dispari muovendosi per modo contrario da tale centro (che è un 1, rappresentato da un semitono).

II. La fine di pagina 5 ci conduce a un nuovo procedimento, che diverrà centrale in tutto il pezzo, mentre l’introduzione avvenuta finora ha un carattere preparatorio, di base elementare che riaffiora in alcuni passi come vedremo). Tale nuovo procedimento si potrebbe chiamare ‘divisione in parti diseguali’ e somma dei numeri da 1 a n. Si tratta dei numeri triangolari, n(n+1)/2: (n è qualsiasi intero).[2]

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,105, 120 ecc.

Così il 15 diventa, oltre a 5*3 e 3*5, anche 1+2+3+4+5 o 5*6/2; 21=3*7=1+2+3+4+5+6=7*6/2.

Inoltre vi sono anche numeri ‘trapezoidali’ quali 25=3+4+5+6+7=5^2=T7-T2 (dove indico T2 il secondo num. triangolare =3*2/2, T7 il settimo=8*7/2, ecc.

Poi abbiamo il 27 come 8+9+10 ma anche (3*5)+(3*4) e T7-T1; 33=3*11=T8-T2; 30= T8-T3; 35= 5*7=T8-T1=T9-T4 (trapezoidale in più modi);

78= 3*9=18+19+20+21=25+26+27=13*6 (memoria dell’esplosione ff di pag.4, che inaugura una serie di citazioni dell’introduzione). Si percorre la serie dei numeri triangolari rileggendo in ordine retrogrado alcune delle misure dell’introduzione; i numeri triangolari sono numeri composti (ad eccezione dei primi due), e quelli consecutivi hanno sempre un fattore comune, essendo Tn=n(n+1)/2. Quindi l’introduzione, letta saltando da un composto all’altro, acquista un ‘legame armonico’ che le mancava totalmente. Inoltre la regolarità iniziale viene leggermente compressa da una curva in accelerando ‘triangolare’ (corrispondente a rapporti x/(x+1), da 11/12 fino a 1/2 (da quasi 4’’ a 2’’). La frase successiva espone nell’ordine originale i n. triangolari, evidenziando chiaramente come essi si generino dai numeri naturali: la m.sin. fissa sullo 0 originario=C# , trillata nervosamente con i n. dispari 1,3,5,7,9,11, mentre la destra riporta gli stessi intervalli a partire dall’ultimo raggiunto. Si ottengono (tra grave ed acuto) gli intervalli triangolari dispari (detti anche num. esagonali come si vedrà più avanti); i pari sono intercalati in levare tra una misura e l’altra.

Segue da pag. 7, 3° mis., una composita ascesa di due strati, ognuno formato da uguali intervalli e durate, entrambi multipli dell’unità ritmico-diastematica croma=semitono. Sono tutti, prendendo la somma dell’arco melodico-ritmico, quella particolare serie di numeri composti che sono ancora i numeri triangolari, qui interpretati appunto in una doppia lettura di periodicità: nota più grave il Si (originariamente G), la m.d. interpreta il 3=T2 e il 6=T3 con semiminime puntate e terze minori, mentre per la m. sin. il 6 e il 10=T4 con semiminime e toni (3+5). Così via, fino al 55=T10.

Segue una nuova ripresa delle misure introduttive, in tagli più vivaci, e trasposta entro l’ambito appena raggiunto di 55 semitoni: abbiamo la citazione del 55 o mis.55, poi i composti di 5 50+5 (rispettivamente all’acuto e al grave), 10+45, [quindi una misura con le due armonie in nuova interpretazione come numeri triangolari] 40+15, [si inseriscono talvolta alcune misure che glossano lo stesso ambito con numeri triangolari] e a pag.8: 20+35, 25+30, glossa ppp, ancora 25+30 (ma scambiando acuto e grave); quindi dal 3° rigo si impongono le ‘armonie’ di num. triangolari.

Al 4° rigo i num. 66 e 78 (sempre interpretati come intere misure, qui citando l’introduzione) ‘sfondano il tetto’ del F# acuto.

Segue una doppia esposizione di num. triangolari (in triadi), dai già noti pivot G acutissimo (verso il basso, come un filtro passaalto) ed E centrale (che si allarga simmetricamente come un filtro passabanda che allarghi la banda). Quest’ultimo, rendendo mobile la già nota centrale E-F, interpreta i triangoli ora dritti ora rovesci: vedi dal 5/4: dal grave intervalli 0,1,3 riletti dall’acuto diventano 3,1,0, poi 5,2,0 al contrario 0,2,5. Tutto ciò ascoltando la musica o leggendola sotto le dita diventa molto più semplice che a parole.

Quindi, in pp, altra doppia esposizione stavolta in bicordi a entrambe le mani, la m.d. esplora i bicordi-differenza tra T(n+2)-Tn=num dispari, la m.sin sempre per moto contrario (stessi num. dispari,) e poi per ascesa (si ottiene la serie numerica con differenze n.dispari ossia i numeri quadrati, fondamentale ‘sorella maggiore’ della serie numeri triangolari, che troveremo spesso impiegata. Dopo tre misure, in 2/4, riesposizione di n.quadrati, ma alla m.sin. i tricordi con centro mobile [3]: non più il seitono E-F ma il tono E-F#, con tutta la folla di memorie di tonalità minori e maggiori che si tira dietro.

A pag.9 si approfondiscono ancora, nei numeri triangolari, le differenze a distanza di 2,3,4,5,6 elementi, chiamate anche numeri trapezoidali, numeri composti che vengono divisi o in parti uguali (cicli di seconde, terze, ecc., come nell’Introduzione) o in modo ‘triangolare’ (intervalli regolarmente crescenti, creando un colore armonico triangolare che sempre più si afferma, anche perché rigorosamente ottofonico. Se analizziamo la serie triangolare tradotta in semitoni, infatti, abbiamo che dopo 12 note o numeri si ripetono gli stessi intervalli accresciuti di 12 o ottava, dopo 6 gli intervalli tornano indietro, dal tritono alla settima maggiore; di questi 12 suoni 4 sono presenti due volte (ripropongono 2 volte un accordo di settima diminuita o meglio di terze minori), e un’altra serie di terze minori è assente.

Tornando alla pag. 9, queste sequenze polifoniche si muovono entro la guida ferma della serie triangolare discendente dal G acutissimo.

All’ultimo rigo inizia un altro algoritmo: i n. triangolari si chiamano così perché contano i punti di cui sono costituiti triangoli di lato 1,2,3 ecc; o per fare esempi più concreti, pile complete di bottiglie o altre cose impilate similmente. Accrescendo tali pile, si ha quello che i greci chiamavano gnomon, un modello sempre simile a se stesso al variare delle dimensioni. Si può interpretare ogni triangolo come 3*n+1. Raggruppando a tre a tre, posso creare un ‘fugato’ su una sequenza di figure di semitono 1 (A#-B), terza min.3 (G-B bem.) e tritono 6 (E-B bem.)

1 3 6

10=3*3+1; 15=3*4+3; 21=3*5+6

28=3*9+1 36=3*11+3 45=3*13+6

55=3*18+1 66=3*21+3 78=3*24+6

Comincio a stancare o a far gustare l’eleganza e coerenza di tali ‘visioni’? Il 78 (importante raggiungimento, in quanto tocca il G acutissimo e il C# gravissimo, due note cardine del pezzo) è quindi letto, al 13/8 di pag.10, come 27+26+25 (quindi come n. trapezoidale), e poi 18+19+20+21 (idem, arriviamo alla prima mis. di pag.11), ma tra queste letture si introduce due volte un elemento nuovo, F-DDD (nuovo ma ancora 1 +3 o 3+1), che sfocia nella sezione seguente, piena di ribattuti nel registro acuto, dal carattere credo piuttosto ‘all’aria aperta’. Se godono di vita animale o vegetale non so, di certo ricreano un’altra proprietà dei n. triangolari, che

T2k+1=3Tk + T(k+1) es. T3=3*1+3; T5=3*3+6

T2k=3Tk+T(k-1) es. T4=3*3+1; T6=3*6+3

Siccome molti di questi numeri sono uguali alla somma di due precedenti, si può creare una rete di coincidenze ritmiche. (Il ritmo breve-breve-breve-lunga può ricordare un celebre ritmo beethoveniano).

Questa idillica parentesi sembra interrotta dal violento 78=13*6, ma in realtà esso condivide lo stesso ritmo 3+1. Al ¾: 78=21+36+21(=T6+T8+T6), il 21 sia come 3*7 sia trapezio 8+7+6; quindi una mis. dopo lo stesso 36=18*2, poi accordo ambiguo 5+4+5 (forse =2+3+4+5 o viceversa 5+4+3+2). Continua attraverso lo stesso ritmo ostinato 3+1 una parte pp a metronomi leggermente variabili. Ecco la ‘numerica’ sempre di accordi triangolari, basata sulle due formule precedenti :

55=3*15+10 ; 66=21+3*15 ; 28=3*6+10 ; 21=3*6+3; 15=3*3+6 ; 36=6+3*10 ; 45=3*10+15 (quest’ultima la più ricca di riferimenti incrociati agli aggregati precedenti, in questo l’intuizione musicale non è indietro alle formule matematiche, spesso anzi le anticipano).

Pag.12 fino a inizio pag.13 suddividono ambiti triangolari, da molto grandi a sempre più piccoli e raccolti scomponendoli in due ‘triangoli’ di misure variabili che incastonano un rettangolo posto sempre nel registro medio. Tutto è una varsione musicale di questa formula: T(n+k)=Tn+nk+Tk. Si parte dal 66= T4+4*7+T7 = T5+5*6+T6 = T6+6*5+T5 = T7+7*4+T4

Le ultime due mis. o somme sono simmetriche alle prime, cambia solo la distribuzione dei registri, musicalmente non banale, tanto più che la condotta delle parti è di particolare continuità da una misura all’altra, costituendo una crescita molto naturale. Da mis. 275 una simile configurazione si raccoglie in piano intorno all’ambito 28, particolarmente ostinato, e bisogna evidenziare i suoni legati tratti fuori dal blocco di sfondo sempre simile degli accordi di base in semicrome (che sono armonie ‘triangolari’).

Ritmicamente tutto ciò scorre su un calmo fluire uguale di crome, fino alla sospensione aritmica di pag. 13 primo rigo, sulla (finalmente) semplice sequenza T (di numeri Triangolari) ascendente da 1 a 28. Il punto di partenza, A440, il La centrale già ostinato, è (era già) la sorgente di una simmetrica serie T discendente; esse si combinano (da mis. 289), appena sfasate: da questo sfasamento si producono i numeri quadrati, essendo Tx+T(x+1)=X^2; esposti da 1 fino a 49=28+21.

A mis. 293 lo sfasamento è maggiore ogni semiminima dà 0+3, 1+6, 3+10… ossia numeri triangolari centrati n^2-n+1. Dopo un retrogrado, si ritorna ai numeri quadrati ottenuti con un nuovo sfasamento delle sequenze triangolari:

mis. 289: m.d. 0,1,3,6 mis. 298: m.d. 0,1,3,6,10…

m.sin. 1,3,6,10 m.sin. 0,0,1,3,6…

differenza-intervallo:1,4,9,16 0,1,4,9,16…

Mis.302-304.: scomposizione in fattori di T(2k+1): il sol più acuto è di nuovo lo 0, e abbiamo 6=2*3(tre terze min.), 15=3*5 (4 quarte giuste), 28=4*7, 45=5*9, 66=6*11, 91=7*13 (omessa nota più grave), 120=8*15. La m. sin. suona in bicordi anche i T, pari, la m.d. oltre al Sol ottiene una scala di toni. Segue una bipartizione di T in suoni pari e dispari.

III. (Sviluppo?) Pag.14 reagisce ai nervosismi analitici precedenti con un assai più esplosivo arpeggio ascendente sui n.quadrati (da 81 a 1 sol acuto), subito riproposto con arpeggi discendenti sempre più ampi separati da ribattuti (figura da qui in poi importante, che realizza pianisticamente l’addizione di tratti triangolari). Coppie di T consecutivi sono comprese tra quadrati, come già visto:

1+3, 3+1, 3+6, 6+10, 10+15, 15+21, 21+15, 21+28, 28+36, 36+45

Dopo una brusca pausa il range 81 è ricoperto dal trapeizodale 16+15+14+13+12+11.

Il motivo di quattro note con ripetizione in centro, prima rapidissimo, è quindi esposto in modo molto più calmo su armonie T. A 324 m.d. T genera sempre armonie a 4 voci con moto alterno: voce 1 e 3, alternata a voce 2 e 4. A 325 T e il suo inverso.

Da 332 2T (suddivisa 1+1+2+2+3+3… esplorata a gruppi di 3 note. Da 346 in quiete crome, procedimento simile, ma sommando due tratti (figura già impiegata da pag. 14). 336: intervalli 0,1,1,3,6 (=T), mis. 337: intervalli 1+1,2+2, mis. 338: 2+2, 1+1,

mis.339 2+2, 3+3, poi T; a 343: 3+3+4+4=(a mis.344) 2+2+3+3+2+2; 3+4+5+6=4+4+5+5=5+6+7= (in pppp)3+4+5+6 ascendendo (cambia l’armonia).

ambiti generali, tra due serie T: 6, 10, 14 (15-1), 18 (21-3)

ossia la serie 4x+2 dei numeri trapezoidali a 3 elementi: 0+1+2+3, 1+2+3+4, 2+3+4+5, 3+4+5+6.

A 352 dei bicordi ottenuti da due num. triangolari a distanza di 2 posti: 1+3, 2+4, 3+5: gli intervalli sono i n, dispari tipici dei quadrati. Da 355 gli stessi intervalli alla m.sin. in scrittura a 4 voci (come mis.324), mentre la m.d. continua il gioco perlato di un arcobaleno di crome con parlante ribattuto centrale, su procedimenti simili a quelli già visti.

Da 374 si possono inserire due misure che coprono l’intera estensione del pianoforte. Come spesso, l’occasione è un singolo suono, che diventa nuova origine di nuovi spazi cristallini. Si tratta di una tessitura a 4 voci, punctum contra punctum salvo arpeggi dovuti all’estensione e alla ricerca di chiarezza. Da un Fa diesis grave si dipartono alla m.d. due serie T, mentre alla m.sin. la voce centrale tiene il Fa diesis e la grave scende di toni.

Nel secondo rigo TUTTE le voci presentano sequenze orizzontali T e armonie S (Square o quadrati)!: la più grave dal Mi bem., seguita dal Tenor a due ictus di distanza; l’Alto e il Superius hanno origine nel LA acuto, ma partono da T(-3) e T(-5). Sarebbe lungo dimostrare come questa particolare configurazione abbia queste particolarità melodiche ed armoniche.

Gli arpeggi delle miss. 376-383 sono S, e le loro trasposizioni si imperniano sul Sol centrale, mentre le voci intorno ad esso progrediscono ad ogni battuta per 2,4,6,8 semitoni.

Gli elementi forniti finora sono sufficienti per poter analizzare le configurazioni successive. Vorrei notare ancora a 394 gli ossessivi S presentati in modo in parte nuovo, con al centro non più il ribattuto ma un’oscillazione di due suoni, per cui si ottiene un’arpeggio simmetrico.

Da 402 seconda metà si esplorano le somme di quadrati, con le seguenti strutture: sol+fa diesis= 1^2+ tre seconde maggiori fa diesis , mi,re)=5;(2^2+3^2=4+9 (ottenuto accostando 3 seconde maggiori a 4 terze minori, fa 13= nona minore- ovviamente essendo intervalli bisogna aumentare di 1 il numero di suoni: 2*2=4 si ottiene con 2+1=3 seconde maggiori); quindi (a mis. 404) 4 terze minori e 5 terze maggiori, ossia 9+16=25, che è inoltre uguale a 6 quarte, essendo una terna pitagorica. Gli accordi sf sono commentati da arpeggi S (quadrati). La misura dopo riarrangia il 3*3+4*4 nel seguente modo: 4+3+4+3+4+3+4, più elegante e anche eufonico. A 406 16+25=41, due misure dopo 25+36=61. Tutta l’esplorazione, ad accordi e arpeggi S, della sequenza 1,5,13,25,41,61 (formula: x^2+(x+1)^2=2x(x+1)+1, ossia numeri quadrati centrati, v. http://oeis.org/search?q=1%2C5%2C13%2C25%2C41%2C61&language=english&go=Search) è intonata tra due sequenze S sfasate di un posto, ossia è ancorata al fa diesis come 0 o punto di simmetria.

A 409 la m.d. espone in semiminime un canto fermo T, che con gli arpeggi della m.sin. crea degli incontri armonici uguali alla suddetta sequenza S centrati. Il grande arpeggio della m.sin.

Discendendo (mis.410) abbiamo: T-2T (tre intervalli uguali, ossia 2T, +1 semitono mi-re diesis). E così via, fioriscono altre generazioni simili, similmente precise.

Da 414 iniziano i numeri esagonali, sequenza che può essere derivata da T, scindendola in T dispari e pari (questi ultimi si ottengono da num. esagonali di ordine negativo, utili a dare completezza e coerenza alla serie).

Il sol acuto fff richiama il 72 di mis. 72, il suo attacco è accompagnato da un commento ppp in crome dodecafonico, ottenuto con 3 teste di numeri esagonali.

Questo piccolo ponte porta da una zona quasi drammatico a uno scoppio di ilarità, di beffardi accordi discendenti. Questi non sono ottenuti che per esplorazione dei numeri trapezoidali, o spezzoni di T privati della base: di essi, già riscontrati in precedenza, si espone una curiosa proprietà, per la quale ogni 4 numeri crescenti si può saltare a un trapezoidale di ordine superiore (qui con più suoni). Per tale ‘legame’ sono necessarie delle trasposizioni.

2 suoni: (0),1,2,3

3 suoni:1+2=3; 2+3=5; 3+4=7; 4+5=9

mis. 419: 4 suoni 2+3+4=9; 3+4+5=12; 4+5+6=15; 5+6+7=18

5 suoni: 3+4+5+6=18; 4+5+6+7=22; 5+6+7+8=26; 6+7+8+9=30

mis.420: 6 suoni: 4+5+6+7+8=30; 5+6+7+8+9=35; 6+7+8+9+10=40; 7+8+9+10+11=45

7 suoni: 5+6+7+8+9+10=45, ecc.

Questa proprietà può essere poco stupefacente per un matematico (l’ultimo addendo di ogni riga è uguale ai primi due della successiva), ma è affascinante ed elegante a una lettura musicale.

Mis. 423: accordi T (trapezoidali) completati ogni semiminima, costruiti attorno a dei pedali centrali, mentre le parti esterne si allargano di 1,2,3,4, x semitoni.

Il Lentissimo dopo la corona può ricordare il corale ‘O Ewigkeit, du Donnerwort’ e quindi più vicino a noi il Violinkonzert di Berg, ma è prima di tutto un’applicazione dello stesso principio su armonie S: i quadrati a 3-4 voci, 0,1,4; 1,4,9,16; 1,4,9,16,25; 9,16,25,36; 16,25,36,49. Se agganciati a un Mi bem. centrale, le altre voci, essendo gli intervalli numeri dispari, si muoveranno per toni, terze magg., tritoni (semitoni pari). A mis. 428, sullo stesso Mi bem. centrale, si espande invece la sequenza T (o meglio, a ritmo responsoriale, i due suoi sottoinsiemi rappresentati dalle due serie già viste di numeri esagonali: 0,1,6,15,28 alternati a 0,3,10,21…).

Vivace subito, pag.19: altra interpretazione di T (che ascende da Fa diesis centrale), come poliritmia e generazione di scale, talea e color in termini medievali, qui coincidono. M.sin. 3*1 come 3 semitoni disc.=1 terza min. asc. e gli stessi valori in crome e multipli. Similmente 6=3*2, poi 10=2*5, , 15=3*5 (scale mixate a 445). Nella m.d. voce interna abbiamo un’altra disposizione ritmica di T, quella bustrofedica:

6= 2,1,3 10= 2, 3,1,4 15= 5,1,4, 2,3 21=3,4,2,5,1,6; 28=4+3+5+2+6+1+7

3+3 5+5=2+4+4 5+5+5=6+6+3 ; 7+7+7=3+6+6+6

Sommando tali valori a coppie adiacenti, si nota la natura poliritmica propria di tale disposizione.

Da mis.448 la scrittura a tre righi e l’uso di una corda si sforza di far coesistere più livelli a stretto confronto: la sequenza S, rapidi arpeggi ff all’acuto,

in f staccato sequenze T ma esposte con intervalli uguali

sequenze esagonali mp in centro, e poi accordi e arpeggi ppp

al grave 2T discendente.

Il range complessivo si espande dal già usato Fa diesis centrale, muovendosi su e giù:

1 -3 +6 -10 +15 -21

sommatoria:1, -2, 4, -6, 9, -12, che dà all’acuto S, al grave -2T.

A mis. 457 T apre nuova parte che si espande a numeri figurati di ordine crescente: a 458 S, a 459 pentagonali, 460 ettagonali, a 461 decagonali, e a 462 infine esagonali e S, entrambi fondamentali per sviluppi immediatamente successivi. A MM=70, intorno al Sol centrale, quadrati su basso discendente per toni. Si continuano ad esplorare matrici su pedali interni e voci che si espandono per intervalli uguali, su un ‘canto’ o sequenza matematicamente e musicalmente pertinente. Da 475 si hanno ad esempio strati di intervalli armonici 5,4,3,2,1, ogni voce canta T, e gli strati vengono ‘sfogliati’, ossia la risonanza dell’uno introduce il successivo. Uno strano amplissimo singhiozzo o procedimento di agilità su salti che possono far pensare Scarlatti non è altro che una nuova incarnazione di armonie T, o sequenze di suoi intervalli dilatati. Essi si alternano ad arpeggi S, Esagonali, T, ecc., su pedali interni che bilanciano lo sballottamento su tutta la tastiera (che è sempre un unico spazio, i registri d’ottava non sono mai casuali né riducibili). Da 501 si afferma con tremoli un ponte declamatorio, su armonie T che ammiccano a tonalità (vi sono accordi a 4 voci identici ad accordi minori e maggiori, ma incastonate nell’armonia T, ottofonica e con fondamentali relazioni di tritono). A 508-510 La già sperimentata procedura di matrici T in armonie a 6 voci sono arpeggiate e rilette enfatizzando sempre voci diverse. ed esplode verso il tetto-Sol acuto, poi da mis. 512 ridiscende (su note T) citando misure dell’Introduzione.

IV. Tutto ciò porta a una sorta di Ripresa trasfigurata dell’ascesa iniziale: ma parte da un range 38 e la dinamica è sempre più che fortissimo. Il carattere esclamativo riflette un famoso appunto dai quaderni di Gauss dove si legge: T+T+T=N :eureka!

Ossia tre numeri triangolari sommati possono dare qualsiasi numero N. Un altro criterio rispetto alla scomposizione di N in fattori primi, molto più difficile da dimostrare. Ogni T è da me rappresentato dagli ormai consueti accordi T, e al massimo tre di essi contigui coprono quindi il range da un Do diesis grave (pavimento che poi cede verso il grave) fino al tetto acuto, mostrando la relazione di Gauss. Così si sale da 38 a 53 finché improvvisamente (mis. 539) non sparisce tutto e si staglia un grande arco melodico e monodico su durate scandite: base croma, i seguenti valori

1 2 3 4 5 6,

2 3 4 5 6,

3 4 5 6, e dei corrispondenti suoni T ogni volta trasposti lungo suoni T;

4 5 6, come si vede è una struttura in versi ad acrostico

5 6 (si provi a leggere in verticale). Essa riempie un totale cromatico di

6 21 suoni (T6), in un modo che mi ricorda la ipercoerenti tassellazioni dello spazio esplorate da Escher.

Questa meravigliosa struttura occupa tutta una misura di 91 crome; il numero 91 è uno ‘pseudo primo’ uguale a 7*13, è anche T13, ma deve molte delle proprietà viste su all’essere anche un numero piramidale, somma dei primi quadrati 1+4+9+16+25+36, di cui do l’elegante disposizione a triangolo già analizzata, in cui ogni rigo lascia lo spazio residuo esatto per i righi successivi.[4]

Una pagina e mezza è dedicata quindi ad approfondire qualche aspetto della misura precedente, che resta ben riconoscibile all’acuto mentre subito sotto di esso si esplorano varie caratteristiche, utilizzando T, scale cromatiche, ecc.

A 578 una nuova idea, sempre su T discendente da Do acuto ma in scorrevoli crome, e ‘accompagnato’ da crome con dolci intervalli di terze magg. e seste min. (in realtà potenze di due). Se gli intervalli armonici sono dolci, le melodie T coprono come la precedente un arcano totale cromatico. Sono tutte sequenze T ripiegate o ‘wrappate’ tramite operazioni di congruenza.[5] Utilizzo qui solo moduli potenze di due, gli unici che danno il totale cromatico, virando T dal sapore ottofonico che ha su 12ET.[6] La m.d. riempie dapprima una decima (appunto in 16 crome), poi tale sequenza passa alla sinistra in senso retrogrado, mentre la m.d. ha un’altra T su 8 semitoni+8 in retrogrado. Le potenze di 2 sono facilmente sovrapponibili: continuando abbiamo alla sin. 8 misure di 64 semitoni, alla destra per due volte 16+16, cui si sovrappone in stretto

1 1 1 1

2 2R 2 R

4 4R 4 4R

8 8R 8 8R

16 16R 16 16R

32---------------------------------------------------------- ----------

V. Miss. 590 sgg.: Conclusione in due parti:

1) Triangolo di Pascal.

Su misure di 1/8, 2/8, 4/8, 8/8 si espongono alla destra sempre sulla stessa sequenza T i suoni 0; 0,1; 0,1,2,1+2; 0,1,2,3,1+2,1+3,2+3,1+2+3, ecc. Si tratta di tutti gli incontri possibili di n suoni, o il numero di scelte, inclusa la non scelta (silenzio) o tutti, e sono sempre potenze di due. Il numero di bicordi è dato dai numeri triangolari, il numero dei tricordi da quelli piramidali, ogni scelta è leggibile nel famoso Triangolo di Pascal o di Tartaglia, che mostra i coefficienti binomiali o di scelta. Mio è il criterio di ordinamento di tali aggregati, o come all’inizio in ordine di densità crescente e dal grave all’acuto, poi altri criteri di simmetria che semplificano anche per l’occhio e la mano la realizzazione di tali passi. I coefficienti di un dato n sono infatti simmetrici: per n=3 ad es. sono 1,3,3,1 ossia 1 volta 3 suoni o 0 suoni, 3 volte 1 o 2 suoni. La mano sinistra nel frattempo funge quasi da ‘contatore’, ascendendo da un Do diesis grave (sempre quello come pedale ostinato!) lungo potenze di due.

2) Ultima pagina: Numeri piramidali. Quasi come un saggio, resta un accenno a questi, descrivibili come somme di T: 1,1+3=4,1+3+6=10 (che tra ‘altro è uguale a T4=1+2+3+4). Una più chiara esposizione di essi, con scale separate dal ribattuto è a mis 643.

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[1] Questa durata è indicata con i tempi 1/1, 2/2 (1/4=60 MM), 3/3 ossia terzine (1/3= 60MM), 4/4 (1/4=60 MM), 5/5 ossia quintine (semiminima=100 MM), persino 13/13 (13 crome, semiminima=130 MM), 7/7 semiminima=140 MM.

A mis. 2 e 5 inoltre gli armonici o suoni ‘muti’ hanno un’intensità: suggeriscono di riprendere il tasto con smorzamento parziale.

[2] Si narra che Carl Friedrich Gauss, uno dei giganti della matematica, diede una dei primi segnali del suo genio a otto anni, quando alla richiesta di sommare i numeri da 1 a 100 egli rispose all’istante 5050, spiegando il procedimento che era equivalente a sommare 1+100=2+99=3+98=… ecc, cioè 101*50 volte, secondo la formula che trovò n(n+1)/2. Riincontreremo Gauss verso la fine di tale resoconto.

[3] Più analiticamente, la m.d. segue i n.triangolari come prima, la m.sin. la serie di n. quadrati (segmenti di due intervalli o tre suoni consecutivi)

[4] Il 55 veniva similmente rappresentato in un passo del mio 1, 3, 6, 10... battiti/misure a mano libera, che come si può vedere già dal titolo sfrutta anch’esso le sequenze triangolari. Gli unici altri due triangolari che intersecano le sequenze piramidali condividendone proprietà sono 1 (eh…) e… 208335 (…!), su cui non mi auguro di comporre alcunché. La più minuziosa analisi che conosca di ciò è pure in italiano, nello spettacolare sito di Mauro Fiorentini ; v. http://www.bitman.name/math/table/156

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[5] Le congruenze o moduli si devono anch’esse a Gauss, che nelle sue grandi Disquisitiones Arithmeticae, scritte a 21 anni fondò l’aritmetica modulare. Di un numero modulo un altro si prende il solo resto, e si classificano le classi di resto e le operazioni con moduli che ‘ereditano’ le proprietà di resto.

[6] Tale ‘refrattarietà’ delle potenze di due rispetto a T è dovuta al loro essere ‘numeri scortesi’ (v. http://www.bitman.name/math/article/742)