Il fascino dei simboli vive anche nell'uomo moderno e si dice
che meno sappiamo di un simbolo e più questo ci affascina. Può
succedere anche il contrario, ovvero scoprire un aggancio
scientifico con un simbolo antico e notare che il fascino aumenta
come è successo quando si è scoperto che cristalli e molte
molecole dei composti chimici si sviluppano o si aggregano solo
secondo gli assi di simmetria dei cinque solidi platonici. Con
questa scoperta la scienza ha confermato la sacralità di queste
cinque forme che sono diventate anche per il grande pubblico gli
archetipi delle forme del regno minerale.
Per secoli questi cinque solidi sono stati accettati per la
grandezza del filosofo Platone ma incompresi per la mente del
grande pubblico. Fanno eccezione gli artisti che subiscono il
fascino delle forme e ne percepiscono l’essenza come Pier
Della Francesca che nel 1492 scrisse il trattato "De Quinque
Corporibus" e lo dedicò al Duca di Urbino. Anche il frate
Luca Pacioli, amico di Leonardo e discepolo di Pier della
Francesca scrisse e pubblicò nel 1494 il libro "Divina
Proportione" (relativo alla geometria architettonica) nel
quale esamina anche i cinque solidi platonici e i solidi
"semiregolari" di Archimede. Oggi è rinato un certo
interesse verso queste forme, infatti nel programma di alcune
scuole è contemplata la loro costruzione in creta proprio
perché in esse si nascondono affascinanti leggi geometriche.
Ecco i cinque solidi regolari:
La caratteristica più appariscente dei solidi platonici
(solidi regolari) è quella di essere inscritti in una sfera e di
utilizzare solo una delle prime tre figure piane della geometria
ovvero il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono. Se si
vuol proseguire con successive forme si è costretti a utilizzare
contemporaneamente due figure geometriche e per questo vengono
chiamati solidi semi regolari. Archimede disegnò tredici tipi di
solidi semi regolari. Invece la caratteristica più affascinante
dei solidi platonici è la complementarietà del cubo con
l’ottaedro e del dodecaedro con l’icosaedro. Infatti,
se congiungiamo con delle rette il centro di ogni faccia di un
cubo tracciamo un ottaedro e viceversa se partiamo
dall’ottaedro. Questo vale anche col dodecaedro e icosaedro,
invece il tetraedro riproduce se stesso. Osservando la fig. 10 si
può immaginare che una forma abbia in grembo l’altra
complementare, mentre il tetraedro può essere definito come un
essere primordiale che si autogenera senza mutazioni.
Le caratteristiche di questi cinque solidi continuano a
sorprenderci quando scopriamo che possono essere inscritti uno
nell’altro sfruttando parte dei vertici oppure il punto
centrale dei lati (3); ecco gli esempi più facili da
disegnare:
L'icosaedro merita una particolare attenzione perchè ogniuno dei
suoi 30 spigoli ha uno "spigolo gemello" ovvero
parallelo e opposto a se stesso. Perciò sfruttando queste 15
coppie possiamo disegnare (all'interno dell'icosaedro) 15
rettangoli come mostrato a destra della fig. 11a. Questi
rettangoli hanno i lati in rapporto aureo, come si vede a sinistra
della stessa figura.
Nella prima parte di questo capitolo abbiamo accennato che
unendo il centro delle facce di un dodecaedro otteniamo
l'icosaedro e vicevera. Per questo motivo anche all'interno del
dodecaedro possiamo tracciare 15 rettangoli con il rapporto fra i
lati uguale a F.
Un’ultima curiosità: su un piano si possono tracciare
infinite figure poliedriche regolari mentre nello spazio solo
cinque solidi regolari, ma nello spazio questi cinque solidi
possono essere inscritti uno nell’altro mentre su un piano
il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono non sono
inscrivibili.
Questi solidi regolari e semiregolari hanno scomodato anche i
matematici, infatti Eulero ha scoperto la seguente relazione fra
il numero di vertici, facce e spigoli:
V + F = S + 2
vertici
spigoli
facce
tipo di facce
tetraedro
4
6
4
triangolari
cubo
8
12
6
quadrate
ottaedro
6
12
8
triangolari
dodecaedro
20
30
12
pentagonali
icosaedro
12
30
20
triangolari
Questa tabella enfatizza ulteriormente la complementarietà
fra cubo (8 vertici e 6 facce) e ottaedro (8 facce e 6 vertici)
mentre la quantità degli spigoli non cambia; questa
complementarietà vale anche fra dodecaedro e icosaedro.
Il disegno posto a fianco dell' Indice
prende lo spunto da questo fascino
nascosto e pone in cerchio i solidi
platonici per rappresentare il regno
minerale. Ma quest’ultimo trasmette,
tramite le sue forme, anche un senso di
rigidità, di durezza e di spigolosità
ma soprattutto dà la sensazione di un
destino fatale che tiene prigioniere le
forme. Questa sensazione si può provare
anche in chimica dove i legami atomici e
molecolari costituiscono una prigione
invisibile della materia, per esempio gli
atomi del diamante sono imprigionati in
una struttura tetraedrica. Ma quando
la vita nobilita la materia ecco che
appare il simbolo della libertà ossia la
curva. Il cerchio è il primo passo
verso una libertà geometrica, una curva
primordiale definita da un solo parametro
ma la più bella immagine di libertà si
ottiene con la spirale logaritmica che,
guarda caso, nasconde in sé la sezione
aurea. Un caso particolare è
l’ellisse che nasconde una retta
nella distanza dei suoi due fuochi.
L’espressione di libero arbitrio e
destino si può ottenere anche in
architettura con un armonico connubio fra
curva e retta e in questo modo si fa
anche tesoro delle parole di Keplero che
nel suo libro "Harmonices
Mundi" si esprime così:
l’Onnisciente
ha creato il mondo delle grandezze il
cui essere unitario è racchiuso
nella differenza fra la linea retta e
la linea curva.
3) "The geometry of art
and life" di Matila Ghyka Ed.Dover publications, New York
