Concetti preliminari:

Richiami sugli insiemi, richiami sui numeri razionali e sui numeri reali - operazioni sui numeri reali e loro conseguenze - insiemi limitati inferiormente e superiormente - massimo e minimo di un insieme di numeri - estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme numerico - valore assoluto di un numero reale - rappresentazione geometrica dei numeri reali - intervalli numerici - rappresentazione geometrica di - le funzioni e loro rappresentazione cartesiana - restrizioni e prolungamenti- funzioni monotone - funzioni invertibili - estremi di una funzione - funzioni composte e invertibili - le funzioni elementari nel campo reale - equazioni e disequazioni.

Limiti delle successioni e delle funzioni reali di una variabile reale: Definizione di successione - limite di una successione - Intorni di un punto. Punti di accumulazione. Insiemi compatti – Le nozioni di continuità e di limite per le funzioni reali di variabile reale - Il teorema di unicità del limite (con dimostrazione) - limite destro e limite sinistro - convergenza dall’alto e dal basso - La convergenza come criterio di limitatezza totale (con dimostrazione) – Il teorema della permanenza del segno (con dimostrazione) – Un criterio di regolarità per confronto.il teorema dei “carabinieri” (con dimostrazione) - Asintoti dei diagrammi – limiti delle successioni e delle funzioni monotone - limiti delle funzioni composte (con dimostrazione) - limiti della somma, del prodotto, del rapporto (con dimostrazione) - forme indeterminate – Limiti delle funzioni elementari - Limiti fondamentali – Infinitesimi ed infiniti - confronto tra infinitesimi (infiniti) - il principio di sostituzione - ordine di un infinitesimo (infinito) - parte principale di un infinitesimo (infinito) - infinitesimi o infiniti equivalenti.

Le funzioni continue in un insieme compatto:

Definizione e prime proprietà delle funzioni continue - punti di discontinuità - Il teorema della permanenza del segno - il teorema dei valori intermedi - il teorema degli zeri - il teorema di Weierstrass (di questi ultimi tre teoremi è prevista almeno una dimostrazione a scelta dello studente).

Derivate delle funzioni reali di una variabile reale:

Definizione di derivata – il significato geometrico della derivata: la retta tangente. Punti di flesso dei diagrammi - Punti angolosi e cuspidi dei diagrammi – La funzione derivata. Derivate e differenziali di ordine superiore - Le regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, del rapporto - derivata di una funzione composta (con dimostrazione) - derivate delle funzioni elementari.

Applicazioni del calcolo differenziale:

I teoremi di Rolle e di Lagrange (con dimostrazione) - conseguenze del teorema di Lagrange:funzioni con derivata nulla (con dimostrazione), criterio di monotonia (con dimostrazione), di stretta monotonia e di convessità - i teoremi di L’Hospital - massimi e minimi relativi (locali). Teoremi sui punti di massimo e minimo locale (con dimostrazione) - studio del diagramma di una funzione.

Integrazione delle funzioni di una variabile:

Definizione di integrale definito - area del rettangoloide - funzioni primitive - caratterizzazione delle funzioni integrabili - integrale di una funzione continua in un intervallo compatto - proprietà dell’integrale definito - i teoremi della media - il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione) - la formula fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).

Integrazione indefinita elementare:

Integrale indefinito - Integrali indefiniti fondamentali - Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione - Alcuni artifici ed esempi - Integrali delle funzioni elementari - Formule di ricorrenza - Integrali di alcune espressioni trigonometriche - Integrali delle funzioni razionali - alcune sostituzioni razionalizzanti - Calcolo degli integrali definiti di funzioni continue in intervalli compatti e di aree di figure piane.

Testi consigliati:

P.Marcellini-C.Sbordone  Elementi di Analisi Matematica uno-Liguori Editore

P.Marcellini-C.Sbordone  Esercitazioni di Matematica, Vol.I, parti I e II

A.Esposito-R.Fiorenza     Lezioni di Analisi Matematica, parti A,B,C Liguori Editore