I primi della forma m_p = 2^p-1 si chiamano primi di Mersenne, dal nome di uno dei matematici che li studiò. E' aperto il problema di stabilire se esistono o meno infiniti primi di Mersenne. Al momento (febbraio 2000) si conoscono solo trentotto primi di Mersenne (cfr.), precisamente quelli corrispondenti ai seguenti valori di p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593. L'ultimo di questi é il più grande numero primo conosciuto ed é stato scoperto in data 1 giugno 1999 nell'ambito di un'organizzazione amatoriale di nome GIMPS (The GREAT Internet Mersenne Prime Search), che si occupa di trovare nuovi primi di Mersenne e puó essere contattata via internet attraverso il seguente indirizzo: http://www.mersenne.org. Su questo sito web si trovano anche molte informazioni sui numeri di Mersenne e, più in generale, sui numeri primi di forme particolari.

Si chiamano numeri di Mersenne gli interi del del tipo

Al momento si conoscono solo 38 primi p per cui m_p é primo; di seguito ne riportiamo la lista.

E' noto che tra 2 e 1398269 non vi sono altri primi p per cui m_p é primo.