Logaritmi
Dialogo sui minimi
sistemi - di Pietro Planezio e Ugo Ercolani
Colpito! Devo confessare la mia ignoranza. Mi genufletto e… Ciao Pietro
Primo (e unico) problema per la mia comprensione si è rivelato il "logaritmo naturale" (che non ho trovato "naturale" per niente) ...
Praticamente non ho capito perchè, con la velocità di uscita gas a 3Km al secondo si arriva ad "accelerare" fino ai due valori indicati.
Bisogna che compro un libro di alta matematica per le scuole elementari. Spero di trovarlo...
Chiedo un po' di luce. Saluti, Ugo
Poche, chiare parole, mi aprono un ampio spiraglio…
Logaritmi
Prendiamo un numero: 10.000. Possiamo esprimerlo come 10 elevato a 4.
1000 come 10 elevato a 3, 100 come 10 elevato a 2, 10 come 10 elevato a 1, ed 1 come 10 elevato a zero, 0,1 come 10 elevato a -1, 0,01 come 10 elevato a -2.
E 10 elevato a 0,5 quanto fa? Radice quadrata di 10, =3,16227…
E 10 elevato a 1,5 è (0,5x3)=radice di 10 al cubo = 31,6227…
Allora, chiamato 10 BASE, diciamo che, ad esempio, 3 è il logaritmo di 1000 in base 10.
In pratica l'esponente a cui bisogna elevare la base (10) per avere il nostro numero.
Si possono esprimere tutti i numeri in forma di logaritmo, una volta con le tavole, oggi con una semplicissima calcolatrice scientifica. (costo alla Metro Euro 5,90+IVA).
Per esempio il logaritmo di 127 è 2,1038…. Di 12,7 è 1,1038…. Di 12700 è 4,1038…..Di 12.700.000.000 è= 10,1038.
Questo si chiama Logaritmo in base 10. Se ricordo bene, di Briggs.
Per la maggior parte dei calcoli scientifici, però, si usa un altro logaritmo, chiamato Logaritmo naturale, od iperbolico.
Questo perché rende molto più semplici tanti calcoli che coinvolgono funzioni crescenti o decrescenti in modo geometrico… lascia perdere, ci sevono di più, punto e basta.
Qual è la differenza fra questi (chiamati "ln") dai primi (chiamati "log")?
Praticamente pochissima: hanno di diverso solo LA BASE. Non più 10, ma "e".
Questa "e" è un numero particolare, poi ti dirò come si ricava. Comunque vale 2,7182818…….
Quindi il logaritmo di 100 in base 10 vale 2, in base "e" vale 4,60517…
E lo trovi sulle tavole (ormai un cimelio) o sulla solita calcolatrice, schiacciando il tasto "ln" anziché "log". Tutto qui!
Dopo la breve risposta, riprende…
In città consuma tanto, ma in autostrada…
Ora torniamo al nostro missile: La Vej vale 3000, la massa iniziale M1, quella finale M2.
La spinta rimane costante, e quindi l'accelerazione cresce.
Anziché stare a fare una infinita somma di "piccolissime" accelerazioni, la formula già detta ci permette di calcolare TUTTA l'accelerazione fornita, partendo con M1 e finendo con M2.
Non ti devi stupire che il missile possa viaggiare più veloce del gas eiettato.
Pensa, per esempio, quando viaggia a 4000: anche il suo carico viaggia a 4000. Viene sparato indietro, ed il razzo rincula "in avanti".
Essendo nel vuoto, E' LUI il sistema di riferimento.
E' come se fosse fermo, dopo la sparata il gas viaggerà a 4000-3000=1000, (rispetto alla Terra, od a chi cavolo vuoi) ed il razzo verrà spinto in avanti, accelerando un po'.
Fai mente locale: se viaggi su un treno velocissimo, dentro uno scompartimento, e lanci qualcosa DENTRO IL VAGONE contro od in favore al senso di marcia, il rinculo che avverti è sempre lo stesso, indipendentemente dalla velocità del vagone e dal senso del lancio.
Torniamo al missile: comincia la spinta con M1, quindi avrà accelerazione a1.
Finisce con M2, avrà accelerazione a2.
Facciamo l'ipotesi che parta 100, e finisca 10:
M1/M2=10. Finisce 10 volte più leggero di come ha cominciato.
D naturalmente si legge delta, perciò:
DV=Vej x ln (M1/M2)= 3000x ln (10)=3000x2,3025 =6908 m/sec.
Questa è la velocità finale.
Se però vogliamo riaccendere i motori, a parità di spinta l'accelerazione sarà 10 volte maggiore di quella iniziale nel caso precedente, dato che il tutto pesa 10 volte meno.
Anche quella finale sarà 10 volte maggiore, visto che il peso finale è 10 volte meno.
Allora anche la differenza di velocità?
NO, perché il consumo E' 10 VOLTE MENO!
Il primo da 100 a 10, il secondo da 10 a 1.
Però 100/10 = 10/1. ln 100/10= ln 10/1, no?
Sempre di logaritmo di 10 parliamo, = 2,302, che x 3000 = 6908m/sec.
Quindi, dopo la seconda spinta, la velocità sarà:
6908+6908 =13816m/sec.
Riprova: M1=100. M2=1 V=Vej x ln 100= 3000x 4,605= 13816m/sec. Olè!
Mangia questo, che poi ci risentiamo. Pietro
