di Massimo Fantin 2001

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Introduzione

Equazione delle corde vibranti o delle onde o di D'Alembert

Equazione del calore o di Fourier

Programma di simulazione

Istruzioni al programma di simulazione

Risolvere, mediante una simulazione dinamica, le principali equazioni della fisica matematica:

L'equazione delle corde vibranti o di D'Alembert impostando le condizioni al contorno e la condizione iniziale

L'equazione del calore o di Fourier limitatamente ad una barra conduttrice, impostando la condizione iniziale e le condizioni al contorno oppure supponendo che una o entrambi gli estremi della barra siano isolati termicamente.

Per giungere all'equazione delle corde vibranti facciamo una breve premessa, non del tutto rigorosa, ma che conduce rapidamente all'equazione di D'Alembert.

Supponiamo che la corda di lunghezza fissata subisca una tensione T applicata agli estremi, se viene spostata dalla posizione di equilibrio sorgono delle forze elastiche di richiamo, in particolare se consideriamo un tratto infinitesimo di corda dx, considerando le forze di tensione T ai suoi estremi otterremo la forza di richiamo come la componente perpendicolare all'asse x della somma vettoriale delle due tensioni : F=T sen q_x - T sen q_x+dx dove gli angoli q_x , q_x+dx rappresentano gli angoli che i detti vettori T formano con la direzione dell'asse x, se supponiamo che i suddetti angoli siano piccoli possono i seni possono essere confusi con le tangenti e quindi con i valori delle derivata negli estremi del tratto dx. Si avrà pertanto F = T(dy/dx)_x+dx-T(dy/dx)_x dove y = y(x) rappresenta l'equazione della corda. Poiché la derivata seconda è la derivata della derivata si avrà che:

F= T( d²y/dx²) dx.

Indicata poi con m la densità lineare di massa cioè il rapporto tra la massa e la lunghezza del tratto infinitesimo, avremo che la massa del tratto di filo dx sarà m dx. Applicando infine la seconda legge della dinamica F=ma, e riconosciuto che l'accelerazione è la derivata seconda fatta rispetto al tempo si avrà:

T( d²y/dx²) dx = m dx (d²y/dt²), semplificando si ottiene l'equazione di D'Alembert per le corde vibranti:

 d²y/dx² = m /T * d²y/dt².

Altri tipi di onde conducono sempre a un'equazione analoga. Pertanto considereremo in generale

l'equazione di D'Alembert, detta anche "delle onde" l'equazione rappresentata dall'espressione

Le soluzioni di detta equazione sono funzioni nelle due variabili x e t. Per ogni equazione, ovvero per ogni valore di H esistono infinite soluzioni, per individuarne una particolare dobbiamo scegliere il dominio della f(x,t) e il valore della funzione nella sua frontiera, per semplicità scegliamo come dominio una striscia semiinfinita, cioè un rettangolo con un lato al finito e i due lati ad esso adiacenti e paralleli fra loro di lunghezza infinita, il quarto lato è all'infinito pertanto non lo consideriamo. Dobbiamo definire il valore della funzione lungi questi tre lati, in particolare chiamiamo

Condizioni iniziali: la funzione f(x,0), il valore della funzione all'istante iniziale ovvero il valore della funzioni lungo il lato limitato del dominio, La condizione iniziale è una funzione spaziale che rappresenta la forma iniziale della corda. Quando facciamo vibrare la corda di una chitarra pizzicandola , introduciamo una condizione iniziale data dalla forma spezzata della corda.

 Condizioni al contorno: la funzione f(x iniziale ,t) e la funzione f(x finale, t ) cioè il valore della funzione soluzione sui due lati infiniti. Le condizioni al contorno suono due funzioni temporali e rappresentano istante per istante la posizione degli estremi della corda. Quando facciamo oscillare una corda fissata ad una estremità, facendo vibrare l'altro estremo che teniamo in mano, con il moto della mano introduciamo una condizione al contorno relativa ad un a solo estremo, se due bambini trattengono gli estremi di una corda facendola vibrare, introducono le condizioni al contorno su entrambi gli estremi.

La costante che compare nell'equazione di D'Alembert è scritta al quadrato per due motivi: innanzitutto perché trattasi di una costante positiva e quindi per evitare equivoci e inoltre perché ha un significato fisico particolare infatti facendo ragionamenti fisici simili a quelli precedenti si può dimostrare che H rappresenta l'inverso della velocità di propagazione dell'onda.

Per risolvere l'equazione delle onde in modo numerico possiamo usare il metodo delle differenze finite che, consiste nel sostituire alle derivate parziali i corrispondenti rapporti incrementali, trattandosi di un'equazione in due variabili dobbiamo fare attenzione a non confondere le derivate temporali con quelle spaziali.

Ricordiamo che il rapporto incrementale della derivata seconda è : (f(x+dx)-2 f(x)+ f(x+dx))/dx²

Sostituendo nell'equazione di D'Alembert si ha:

( f(x+dx, t)-2 f(x,t)+f(x+dx,t) )/ dx² = H ²( f(x,t+dt)-2 f(x,t)+f(x,t-dt))/dt²

Risolvendo l'equazione rispetto a f(x,t+dt) si ha:

f(x,t+dt)= (dt/dx H)² ( f(x+dx, t)-2 f(x,t)+f(x+dx,t) ) + 2 f(x,t)+f(x,t-dt).

Questa formula consente di calcolare il valore della funzione cercata nella posizione x e all'istante t+dt conoscendo i due valori all'istante precedente in posizioni spostati di dx a destra e a sinistra e un terzo valore nella stessa posizione ma due istanti precedenti.

Si suddivide la lunghezza della corda in n parti uguali, ciascuna parte sarà dx , i valori iniziali di f sono dati dalle condizioni iniziali, si ripete l'operazione ad intervalli di tempo dt integrando i valori di f agli estremi con le condizioni al contorno. Così facendo si ha istante per istante la funzione f che rappresenta la soluzione cercata dell'equazione di d'Alembert.

Anche per l'equazione del calore facciamo una premessa di natura fisica: Supponiamo di considerare una barra omogenea conduttrice, isolata ai lati e che può essere riscaldata fornendo calore solo agli estremi. Vogliamo studiare l'andamento della temperatura dei vari punti della barra al variare del tempo conoscendo la distribuzione iniziale delle temperature e l'andamento temporale della temperatura agli estremi. Per risolverlo dal punto di vista matematico utilizziamo la legge fondamentali della propagazione del calore secondo la quale la velocità di propagazione del calore è proporzionale al gradiente termico, ovvero alla derivata spaziale della temperatura, in formule

(1) dQ/dt = s dT/dx

dove s rappresenta una costante di proporzionalità che tiene conto della conducibilità termica.

Se inoltre consideriamo che la quantità di calore assorbito per unità di lunghezza della barra sia proporzionale alla capacità termica lineare c e alla temperatura avremo che dQ= c T dx , da cui dQ/dx= cT,

Derivando questa ultima rispetto allo spazio dx e tenendo conto che c è costante si ha:

c dT/dx = d²Q/dx².

Sostituendo dT/dx nell'equazione (1) si ha:

d²Q/dx² = c/s dQ/dt. Infine, sapendo che Q e T sono proporzionali perché si è supposta la barra omogenea l'equazione può essere scritta anche come equazione della temperatura T.

Come si vede, la differenza con l'equazione delle onde consiste nel fatto che in questo caso la derivata temporale compare al primo ordine e non al secondo.

Per quanto riguarda la ricerca delle soluzioni valgono gi stessi argomenti dell'equazione di D'Alembert, stesse considerazioni sul dominio e sulle condizioni iniziali e al contorno.

Anche per la risoluzione numerica si procede in modo analogo a come visto per l'equazione di D'Alembert, in particolare si ricorda che il rapporto incrementale per la derivata prima è:

(f(x+dx)-f(x))/dx

mntre per la derivata seconda

(f(x+dx)-2 f(x)+f(x-dx))/dx².

Sostituendo nell'equazione del calore si ha:

( f(x+dx, t)-2 f(x,t)+f(x+dx,t) )/ dx² = K( f(x,t+dt)- f(x,t))/dt

Risolvendo l'equazione rispetto a f(x,t+dt) si ha:

f(x,t+dt)= (dt/dx² H) ( f(x+dx, t)-2 f(x,t)+f(x+dx,t) ) + f(x,t).

Valgono gli stessi ragionamenti fatti per l'equazione di D'Alembert.

Nel caso dell'equazione del calore è interessante considerare anche la possibilità di risolvere il problema supponendo isolante una o entrambe le estremità della barra conduttrice in tal caso non si dovrà introdurre una o entrambe le condizione al contorno e il valore o i valori estremi verranno calcolati in base ai valori adiacenti.

Il programma presentato consente come detto, la risoluzione dinamica delle equazioni sopra descritte, per dinamica intendo che è possibile osservare il fenomeno mentre avviene: l'onda o il calore che si propagano.

Si può scegliere tra l'equazione di D'Alembert e l'equazione di Fourier o l'equazione di D'Alembert con la parete di destra isolante o con entrambe le pareti isolanti mediante la scelta multipla in basso a destra.

Nelle finestrelle in alto si scrivono le condizioni al contorno a sinistra cioè la funzione del moto dell'estremo sinistro del filo come funzione temporale ( la variabile è t), la condizione iniziale, cioè la forma della corda all'istante iniziale ( funzione della variabile x), e infine la condizione al contorno a destra, cioè il moto dell'estremo destro del filo ( funzione della variabile temporale t). I due tasti VIA e STOP servono per visualizzare e interrompere il comportamento dinamico della corda, Attenzione di effettuare tutti i cambiamenti dei parametri: condizioni iniziali, al contorno, H, estremi della corda a simulazione ferma, in tal caso compare sulla destra un cursore nero che può essere spostato in alto e in basso per modificare il parametro H e inoltre è possibile trascinare gli estremi della corda ( righe nere verticali all'estremità della zona gialla). I tasti in basso di zoom servono per modificare la finestra. Per quanto riguarda la sintassi da usare nel definire le funzioni delle condizioni iniziali e al contorno si veda il programma funzioni facendo attenzione di sostituire x con t solo nelle condizioni al contorno.

Valgono esattamente le stesse considerazioni fatte per la precedente equazione con la sola differenza che la condizione iniziale rappresenta la distribuzione lineare della temperatura nella barra omogenea, mentre le condizioni al contorno rappresentano l'andamento temporale delle temperature agli estremi della barra conduttrice.

Per i casi in cui uno o entrambi gli estremi della barra sono isolanti si ricorda che la relativa condizione al contorno non deve essere scritta.

Fermare premendo STOP, posizionare gli estremi della zona gialla su 0 ( asse y ) e su 6.28, scrivere 0 nelle condizioni al contorno e nelle condizioni iniziali sx. Dando il via si osserverà un'onda stazionaria nella quale la lunghezza d'onda coincide con la lunghezza della corda.
Analogamente si possono fare altri esempi : s(2*x) oppure s(3*x) oppure s(x/2) oppure s(3*x/2) ecc.

Si possono anche comporre onde stazionarie di diversa lunghezza d'onda, per esempio: sx+s(3*x)+s(x/2).

Variando il valore di H si cambia la velocità v=1/H e di conseguenza la frequenza di oscillazione.

Verificare che il valore misurato della frequenza di oscillazione sia compatibile con il valore teorico che si deduce dal numero delle semionde, da H e dalla lunghezza della corda ( Calcolarlo per esercizio)

Fermare, posizionare gli estremi su 0 e 10, scrivere (t<p)*sx nelle condizioni al contorno di sinistra e 0 nelle altre due condizioni, Viene generato un impulso della durata di pigreco secondi corrispondente a una semionda [ ricordo che nel linguaggio usato il simbolo (t< p) sta ad indicare 1 se la condizione è verificata cioè quando t non è ancora giunto a pi greco, mentre zero successivamente mentre sx sta ad indicare sen x.]

È possibile misurare la velocità di propagazione dell'impulso per diversi valori di H e verificare se il valore trovato corrisponde a quello teorico v =1/H ( esercizio).

Fermare . Posizionare gli estremi in 0 e 10, scrivere 0 nelle condizioni al contorno e (x<1)*x+(x>1)*(1.1-0.11*x) nella condizione iniziale si ha la sensazione di pizzicare una corda di chitarra, la tensione e la sezione della corda, che corrisponde alla frequenza di emissione si modificano con il parametro H. [ Quando pizzichiamo generiamo sulla corda una condizione iniziale a forma di spezzata, qui rappresentata dalla formula e che significa y = x per x<1 e y= 1.1-0.11x per x>1 evidentemente si tratta di una spezzata passante per gli estremi della corda 0 e 10.

Per esercizio immaginare di pizzicare la corda in altre posizioni e calcolare le condizioni iniziali.

Fermare. Scrivere la condizione al contorno sinistra sx, e 0 nelle altre due condizioni e variano H si possono osservare i vari casi, in genere se si prova a ripetere l'esperimento con una corda reale la velocità è piuttosto alta che corrisponde ad un valore di H piccolo al punto da non vedere più oscillazione ma se la corda è piuttosto lunga e poco tesa è possibile anche realmente osservare più onde.

 Barra conduttrice tra due temperature costanti.

Fermare, scrivere come condizioni al contorno sinistra e destra due valori numerici diversi ( es. 1 e 0), avviare e attendere, Qualunque fosse la condizione iniziale la soluzione si avvicinerà sempre più ad un tende ad una soluzione lineare congiungente i valori attribuiti agli estremi, ciò significa che la temperatura , superato il periodo transitorio passerà gradatamente da un valore all'altro. ( Riprovare con diverse condizioni iniziali), Il valore di K tiene conto della conducibilità termica della barra conduttrice.

Fermare, Scrivere a sinistra s(x/5) e 0 negli altri due. Se la barra è sufficientemente lunga si osservano una o anche due inversioni termiche, questo sta a significare che se la temperatura ad una estremità della barra oscilla periodicamente tra caldo e freddo, all'interno della barra s la temperatura avrà un andamento maggiormente temperato e zone di caldo e di freddo si alterneranno , in particolare ad una certa profondità il caldo e il freddo sono invertite rispetto alla temperatura esterna, è il caso delle cantine dove la temperatura maggiore si può avere di notte.

Si può ripetere il fenomeno dell'equilibrio termico scegliendo l'isolante nella estremità destra ( finestrella in basso a destra)

Posizionare la finestra di scelta multipla in basso nella posizione Calore isolante dx sn, scrivere x>0 nella condizione iniziale e posizionare gli estremi della barra in modo che risulti centrata con l'origine ( es -4, 4). Avviare e osservare che dopo un certo tempo la temperatura si stabilizza sul valore i medio. Ripetere l'esperimento posizionando gli estremi in posizione diversa ( calcolare per via teorica la temperatura di equilibrio: esercizio ) e verificare se la temperatura ottenuta sperimentalmente coincide con quella teorica.